Permutazioni e sottogruppi ciclici

[eccelsius]

Salve a tutti,
ho trovato questo esercizio su una prova passata del mio esame di matematica discreta:

Assegnata la permutazione
$σ := ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14),(10, 13, 6, 1, 14, 2, 11, 12, 4, 7, 9, 5, 3, 8)) in S_14$
1) determinare il periodo di $α := σ^27797848$;
2) si dica, motivando la risposta, se $β := ((2, 7, 3))$ è o meno nel sottogruppo di $S_14$ generato da $α$ e dal 3-ciclo $((1, 2, 3))$.

Per il primo esercizio non dovrei avere problemi:
scompongo in cicli disgiunti $σ = ((1,10,7,11,9,4))((2,13,3,6))((5,14,8,12))$
il ciclo di $σ$ è quindi $m.c.m.(6,4)=12$
$27797848-=4mod 12$
quindi $α=σ^4$
se i miei calcoli sono giusti risulta
$σ^4 := ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14),(9, 2, 3, 11, 5, 6, 1, 8, 7, 4, 10, 12, 13, 14))$
quindi scomponendo in cicli disgiunti $σ^4 = ((1,9,7))((4,11,10))$
e quindi il periodo di $σ^4$ è $m.c.m.(3,3)=3$

Il problema nasce nella seconda richiesta perchè ci sono alcune operazioni che non capisco:
sulle dispense e sul mio libro quando si parla di generatori ci si riferisce ai sottogruppi ciclici che però sono generati da un solo elemento e non da due quindi mi ritrovo un po' spaesato.
Non ho trovato della teoria su questo in internet e mi rivolgo quindi a voi per avere delucidazioni sul da farsi.

Grazie

[NardyPdM]

Mmm... Non sono un'esperta quindi aspetta la conferma di qualcuno più capace di me ma credo che per sottogruppo generato da $alpha$ e (1 2 3) si intenda il loro prodotto.
Dovrebbe essere $<alpha$ o (1 2 3)$>$= $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(2,3,9,11,5,6,1,8,7,4,10,12,13,14))$
che diventa (1 2 3 9 7)(4 11 10) e quindi (2 7 3) non ne fa parte.
Spero sia così, non vorrei aver fatto una figuraccia

[Martino]

Ragazzi, il "sottogruppo generato" da $alpha$ e $sigma$ è il più piccolo sottogruppo che contiene $alpha$ e $sigma$, cioè il sottogruppo i cui elementi sono prodotti finiti i cui termini sono $alpha$, $sigma$ o i loro inversi.

Suggerisco di calcolare $alpha sigma alpha^{-1}$ e $alpha^{-1} sigma alpha$.

[eccelsius]

Ti ringrazio, non avevo trovato da nessuna parte questa definizione.
Ma quindi, se volessi calcolare questo sottogruppo per capire se $((2, 7, 3))$ ne fa parte, dovrei calcolare $α, σ, αα, σσ, ασ, σα, ααα, αασ, ασα, σαα$ ecc più quelli con gli inversi? Mi sembra un calcolo improponibile, specialmente per un tema d'esame.
È così o non ho capito? Tu come sei arrivato a capire subito che $ασα^-1$ e $α^-1σα$ sono i prodotti che ci interessano?

[Martino]

Di solito le cose facili da fare con due elementi $x$ e $y$ di un gruppo sono i prodotti $xy$ e $yx$ e i coniugati $xyx^{-1}$, $x^{-1}yx$, $yxy^{-1}$ e $y^{-1}xy$. Nel gruppo simmetrico fare i coniugati è facile (immagino che tu lo sappia), il coniugato di un ciclo $(1 2 ... m)$ tramite una permutazione $sigma$ si mostra facilmente essere

$sigma (1...m) sigma^{-1} = (sigma(1) sigma(2) ... sigma(m))$

dove faccio i prodotti a partire da destra.