Allora $x^2$ è, per definizione, uguale al prodotto $x**x$... Il problema non si pone per potenze di uno stesso elemento.
Tuttavia, ad esempio, $(a**b)^2 != a^2** b^2$, piuttosto $(a**b)^2 = (a**b)**(a**b)=a**b**a**b$ (senza commutare gli addendi centrali ti fermi qui, non puoi arrivare a $a**a**b**b=a^2**b^2$ come fai di solito).
Per quanto riguarda la tabella, hai:
\[
\begin{matrix}
* & \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{red}{ab} & \color{red}{\cdots} \\
\color{black}{a} & a & ab & a*(ab) & \cdots \\
\color{black}{b} & b*a & b & b*(ab) & \cdots \\
\color{black}{ab} & (ab)*a & (ab)*b & a & \cdots \\
\color{black}{\vdots} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{matrix}
\]
e devi decidere se i prodotti che ancora vi figurano (tipo $a**(ab)$ nella riga di $a$ o $b**a$ nella riga di $b$) li sai calcolare con le poche informazioni che hai o no.
Se li sai calcolare, bene; altrimenti, devi aggiungere righe/colonne alla tabella (ciò spiega perché ho messo dei puntini).
Ad ogni modo, la notazione con le parentesi angolari mi mancava...
P.S.: Informatica all’unisa?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)