Esercizio sui semigruppi

[Valentina.discepolo]

Si compili la tabella moltiplicativa del semigruppo S avente presentazione:
S=⟨a,b | a^2 =a, b^2 =b,(ab)^2 =a⟩,
precisando poi quali sono gli elementi idempotenti di S.

[gugo82]

La dovremmo compilare al posto tuo?
E dove sarebbe, per te, l’utilità dell’esercizio?

In altri termini, è buona norma riportare i propri tentativi di risoluzione quando si pone una questione all’attenzione della community (cfr. questo avviso).

[Valentina.discepolo]

In realtà vorrei avere dei suggerimenti per poterci ragionare sopra se possibile. Non sono una studentessa di matematica quindi le mie conoscenze sull’ algebra in particolare sono molto contenute.

[gugo82]

Innanzitutto, rifletti: cos’è un semigruppo? E che cos’è la tabella moltiplicativa di un semigruppo?
Ne hai già visti esempi?
Hai capito (grosso modo) com’è compilata? Quale idea c'è dietro?
Come puoi cominciare a mettere in piedi quella del tuo?


P.S.: Tieni presente che l’operazione definita in un semigruppo, nonostante sia denotata come il prodotto usuale, non gode necessariamente di tutte le proprietà del prodotto usuale.
In particolare, non puoi usare la proprietà commutativa, cioè non puoi supporre che $xy=yx$;¹ e dunque non puoi nemmeno sfruttare tutte le usuali regole di calcolo che da essa derivano, come $(xy)^2 = x^2 y^2$.
L’unica proprietà che si richiede all’operazione di un semigruppo è quella associativa, cioè $(xy)z=x(yz)$, la quale ti consente di calcolare un prodotto tra più termini associando tra loro come meglio credi termini o gruppi di termini tra loro “adiacenti”.

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Note

1. Almeno, non per ogni coppia di elementi $x$ ed $y$ ↑

[Valentina.discepolo]

Sisi infatti su questo ragionamento c’ero arrivata. Avevo anche pubblicato un esempio di tabella moltiplicativa. Che forse ancora nn hanno approvato comunque nel dubbio:

•| a b
a a•a a•b A partire da questa tabella posso soltanto sfruttare la proprietà associativa in pratica.
b b•a b•b

Quindi non posso sostituire, anche se nn vale la proprietà commutativa, a•a = a^2 ?

[gugo82]

Allora $x^2$ è, per definizione, uguale al prodotto $x**x$... Il problema non si pone per potenze di uno stesso elemento.
Tuttavia, ad esempio, $(a**b)^2 != a^2** b^2$, piuttosto $(a**b)^2 = (a**b)**(a**b)=a**b**a**b$ (senza commutare gli addendi centrali ti fermi qui, non puoi arrivare a $a**a**b**b=a^2**b^2$ come fai di solito).

Per quanto riguarda la tabella, hai:
\[
\begin{matrix}
* & \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{red}{ab} & \color{red}{\cdots} \\
\color{black}{a} & a & ab & a*(ab) & \cdots \\
\color{black}{b} & b*a & b & b*(ab) & \cdots \\
\color{black}{ab} & (ab)*a & (ab)*b & a & \cdots \\
\color{black}{\vdots} & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{matrix}
\]
e devi decidere se i prodotti che ancora vi figurano (tipo $a**(ab)$ nella riga di $a$ o $b**a$ nella riga di $b$) li sai calcolare con le poche informazioni che hai o no.
Se li sai calcolare, bene; altrimenti, devi aggiungere righe/colonne alla tabella (ciò spiega perché ho messo dei puntini).

Ad ogni modo, la notazione con le parentesi angolari mi mancava...


P.S.: Informatica all’unisa?

[Valentina.discepolo]

Allora io ho provato a ragionarci su sfruttando la sola proprietà associativa:
Per cui considerando i termini della tabella moltiplicativa riportata sopra
a(ab) = (aa)b = a^2b = ab
(ab)b = (a)bb = ab^2 = ab
Adesso dovrei inserire altri due elementi in tabella (ab)a e b(ab) il che ovviamente mi crea altri elementi in tabella tipo:
(ab)a•(ab)a = aba aba= ababa = (ab)^2 a= a^2 = a lo posso scrivere così?
Tuttavia resta il problema di
(ba)b•(ab)a che nn saprei scrivere visto non conosco ba.
Avevo pensato anche di risolvere diversamente e quindi inserire come elemento aggiuntivo in tabella soltanto b(ab) se
posso scrivere (ab)a= (ab)(ab)^2 = (ab)(ab)(ab) = a(ab) = ab però in un certo senso sto utilizzando la proprietà commutativa che non ho.. quindi sono in un vicolo cieco.

[Valentina.discepolo]

No sono studentessa di ingegneria ma mi è venuta la brillante idea di inserire esami di algebra nel piano di studio

[gugo82]

Compilando la tabella, credo si debba porre $a*b=ab$ e $b*a=ba$.
Tutto il resto viene di conseguenza.

[Valentina.discepolo]

in merito a questo esercizio essendo che ho solo la proprietà associativa e dalla traccia risulta (ab)^2=a^2=a ,
Posso ritenere nel compilare la tabella che ab = a?