Discussione di un lemma.

[galles90]

Buongiorno,

Sto leggendo il seguente lemma, riportato sul mio libro, sono un pò confuso sull'enunciato, non so' come interpretarlo, segue:

Denotato con $S_n(1)$ il sottoinsieme (sottogruppo) costituito dalle permutazioni $p in S_n$ tali che $p(1)=1$, l'applicazione $p':i in {1,2,...,n-1} to (p(i+1)-1) in {1,2,...,n-1}$ è un elemento di $S_(n-1)$ tale che $s(p')=s(p)$, inoltre risulta biettiva l'applicazione $f:p in S_n(1) to p' in S_(n-1)$.

Cordiali saluti.

[anto_zoolander]

Moderatore: anto_zoolander

sposto nella sezione Algebra

[fmnq]

non so' come interpretarlo

L'insieme delle permutazioni che fissano un elemento di $\{1,...,n\}$ è un gruppo, sottogruppo di $S_n$, e isomorfo a $S_{n-1}$. Un isomorfismo possibile è quello che hai scritto; il suo inverso è...

[galles90]

Ciao, grazie per la risposta.
Ho poco dimestichezza con algebra\algebra lineare, quindi ti chiedo di avere molta pazienza se commetto qualche errore da far rivoltare qualcuno nella tomba !!

Mi stai dicendo che:
sia $I_n={1,...,n}$ scelgo un elemento di $I_n$ e lo fisso cioè $p(1)=1$, cosi facendo "ho creato" un sottogruppo $S_n(1)$.
Quest'ultimo, è isomorfo ad $S_(n-1)$, grazie all'applicazione $f$... mi vuoi dire questo (almeno penso) ?

Il suo inverso dovrebbe coincidere con $p'$... sembre se non mi sbaglio.

Spero che hai molta pazienza da dedicarmi.


Cordiali saluti.

[galles90]

Anto_zoolander, il lemma che ho proposto si trova sul libro di algebra lineare, per cui pensavo che fosse la sezione più idonea... pardon.

[fmnq]

Mi stai dicendo che:
sia \(I_n={1,...,n}\) scelgo un elemento di \(I_n\) e lo fisso cioè \(p(1)=1\), cosi facendo "ho creato" un sottogruppo \(S_n(1)\).
Quest'ultimo, è isomorfo ad \(S_(n-1)\), grazie all'applicazione \(f\)... mi vuoi dire questo (almeno penso) ?

Se provi a scriverlo astraendo quel che deve accadere, ti sembrerà ovvio: dato un insieme \(X\) e \(Y\subseteq X\), dimostra che l'insieme delle biiezioni \(\sigma : X \to X\) tali che \(\sigma|_Y \equiv 1\) (quelle cioè che quando ristrette ad \(Y\) sono l'identità) è un sottogruppo di \(\text{Sym}(X)\) (l'insieme delle biiezioni di \(X\) in sé), isomorfo a \(\text{Sym}(X\smallsetminus Y)\).

Lo denotiamo, in mancanza di meglio, \(\text{Sym}_{[Y]}(X)\)

Il suo inverso dovrebbe coincidere con \(p'\)... sembre se non mi sbaglio.

Sì, \((-)' : \text{Sym}_{[1]}(n) \to \text{Sym}(n-1)\) "coincide con la sua inversa" in un senso molto preciso, che ti invito a formalizzare.

[galles90]

buongiorno,

ti rispondo, spero di non dire una panzana

come detto $X$ non vuoto e $Y subset X$.Sial'insieme $X^X$, delle applicazioni "biettive" da $X$ in se stesse,
l'insieme $X^X$ risulta essere un gruppo rispetto alla composizione di applicazioni $circ$, in quanto:
1) $sigma in X$ è simmettrizzabile se e soltanto se è $sigma$ è biettiva e il simmetrico di $sigma$ rispetto alla composzione $sigma^(-1)$
2) l'elemento neutro è l'identià $id.X$
3) la composizione risulta essere associativa.


Inoltre l'insieme $X^X$ risulta essere un sottogruppo di $Sym(X)$ in quanto l'operazione $circ$ definisce "come visto" su $X^X$ una struttura di gruppo.
Per far vedere l'isomorfismo, lo potrei far vedere tramite il teorema di Cayley ??

---In linea di massima, il lemma ci sta diecendo che la teoria che si applica al gruppo $S_n$, si può applicare anche al gruppo $S_(n-1)$, in quanto sussiste l'isomorfismo ??---

[fmnq]

Hai solo riscritto cosa devi dimostrare in una notazione fantasiosa e incoerente; il teorema di Cayley non c'entra nulla, devi usare semplicemente la definizione dell'insieme che ti ho dato; nelle tue notazioni $X^X$ è un sottogruppo di Sym(X), ma allora com'è definito quest'ultimo? Nota che nel tuo argomento (che non è un argomento ma la copia di una definizione) non compare mai Y, non ha quindi speranze di essere giusto.

[galles90]

Ciao,

proviamo una cosa alla volta, cosi non facciamo confusione

sia $X^X={sigma|sigma :X to X}$ dobbiamo dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo.

Ricordo la definizione di gruppo; si definisce gruppo $X^X$, se $circ$ operazione interna gode:
1) $circ$ è assocciativa
2) esiste in $X^X$ elemento neutro rispetto a $circ$
3) per ogni elemento di $X^X$ è simmetrizzabile rispetto a $circ$.

Proviamo 1)
Siano "per semplicità cambio la notazione" $f,g,h in X^X$;
$f circ (g circ h)=(f circ g) circ h$
per ogni $x in X$ risulta:
$f circ (g circ h)=(f circ (g circ h))x=f((g circ h)x)=f(g(h(x)))$
$(f circ g) circ h=((f circ g) circ h)x=(f circ g)(hx)=f(g(h(x)))$.

Proviamo 2)
Sia $f:X to X$ elemento di $X^X$ e $I_X: X to X$, risulta $f circ id.X=f$.

Proviamo 3)
Sia $f:X to X$ simmetrizzabile, allora esiste il suo simmetrico $g :X to X$. Sia $y$ posto $g(y)=x$ essendo che $f circ g = I_X$ "g fa corrispondere per ogni $y in X$ l'unico $x: f(x)=y$", per cui si ha $f(x)=f(g(y))=y$, quindi $f$ è suriettiva.
Siano $f(x_1)=f(x_2) $, con $x_1, x_2 in X$ dato che $g circ f=I_X$ allora $x_1=g(f(x_1))=g(f(x_2))=x_2$, quindi f è iniettiva. Per cui $f$ risulta essere biettiva.
Sia $f$ biettiva, l'inversa $f^(-1)$ risulta essere il simmetrico, quindi $f circ f^(-1)=I_X=f^(-1)circ f$.

Scusami non capisco quello che mi vui dire qui:

non compare mai Y, non ha quindi speranze di essere giusto.

[fmnq]

Il problema è che non hai capito cosa ti ho chiesto di dimostrare. Rileggilo e pensaci.

$X^X$ (che solitamente indica l'insieme delle funzioni da $X$ in sé, cosa che concorda con la definizione che ne dai tu) non è un gruppo, è solo un monoide. Devi prenderle invertibili le funzioni.

E' chiaro cosa volevi dire, ma è anche chiaro che non è possibile farti compiere un progresso finché ciò che pensi non è concordante a ciò che scrivi.