Discussione di un lemma.

[galles90]

bungiorno,
si ho interpretato male la tua richiesta, mi stai chiedendo di dimostrare :
con $Y subset X$, risulti essere un gruppo l'insieme $X^X={f|f:X to X , f_(|Y) equiv I_X}$.

Affinchè risultino simmetrizzabili, occore prenderle invertibili le funzioni.
Quindi con gli accorgimenti visti, dovrei dimostrare che $X^X$ risulta essere un gruppo ?

[fmnq]

È quello che ti ho chiesto di dimostrare, sì. Ma c'è qualche problema, se pensi di averlo fatto con le correzioni che hai apportato al tuo post precedente.

Dammi del contesto (qual è la tua lingua madre? Da quanto tempo provi a studiare matematica?); è infatti molto difficile credere tu possa esprimerti così male senza rendertene conto.

[galles90]

" corregimi su questo "
No, le modifiche fatte sono inerenti ad errori di distrazione. Ovviamente la dimostrazione non la riporto, in quanto suppongo che sia banale e ripetiva, in quanto simile.

Ti ripeto la domanda che ti ho fatto : il lemma che cosa ci sta enunciando, qual è il suo scopo ?

[fmnq]

il lemma che cosa ci sta enunciando, qual è il suo scopo ?

...Dimostrare che il sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni che fissano {1} è isomorfo a $S_{n-1}$? Solitamente i lemmi sono risultati preliminari a proposizioni più complesse, che si dimostrano a parte per non sviare l'attenzione di un lettore. Questo lemma, a quale risultato più grande è preparatorio?

[galles90]

Mi servirà per dimostrare il teorema di Laplace inerente al calcolo del determinante di una matrice quadrata.

Una domanda:

anzichè fissare $1$, fissassi un altro elemento $a in I_n$, ottengo sempre un sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni che fissano $a$, isomorfo a $S_(n-1)$ ?

[fmnq]

Ovviamente no, questo è un risultato specialissimo che vale solo per il numero 1.

Tra l'altro, attento che "essere il numero 1" in una lista è una proprietà univoca, che determina quale elemento della lista hai etichettato con "1" in maniera incontrovertibile ed immutabile. Abbiamo infatti spesso questo problema in matematica, quando etichettiamo con il numero 1 qualcosa poi possiamo usarlo solo per riferirci al numero 1... Meno male che esistono insiemi infiniti!

[galles90]

Buongiorno,

scusami se sono persistente, ma ho alcuni punti del lemma che non mi sono chiari.

l'applicazioni $p'$ del lemma, per come è stata definita, dovrebbe fissare tutti i punti, in quanto:

$p': i in I_(n-1) to p'(i)=(p(i+1)-1) in I_(n-1)$
$i=2 to p'(2)=2$

la precedente considerazione che ho fatto, è dovuta dalle prime righe della dimostrazione del lemma, cioè:

Dim: Osserviamo che per ogni $i$, con $1 le i le n to 2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n $ in quanto $p(1)=1$, e quindi
$p(i+1)-1 in I_(n-1)$...

Sarà banale come concetto, ma allo stesso tempo non mi torna. Inoltre se $p'$ fissase tutti gli elementi, come potrebbe appartenere ad un gruppo delle permutazioni $S_(n-1)$.

Spero di essere stato chiaro nel porre la domanda.

Ciao.

[fmnq]

l'applicazioni $p'$ del lemma, per come è stata definita, dovrebbe fissare tutti i punti, in quanto:

$p': i in I_(n-1) to p'(i)=(p(i+1)-1) in I_(n-1)$
$i=2 to p'(2)=2$

No. \(p'(2)=p(3)-1\), nessuno ti dice che faccia $2$.

osserviamo che per ogni $i$, con $1 le i le n to 2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n $ in quanto $p(1)=1$, e quindi
$p(i+1)-1 in I_(n-1)$

No, semmai $1 le i le n-1$ implica $2 le i+1 le n$, col ché $2 le p(i+1) le n $.

Inoltre se $p'$ fissase tutti gli elementi, come potrebbe appartenere ad un gruppo delle permutazioni $S_(n-1)$

Non sembri avere un'idea molto chiara di cos'è una permutazione.

[galles90]

Si, abbiamo lo stesso pensiero,la posizione $p'(2)=2$ l'ho dedotta dalla prima parte della dimostrazione che ho riportato, in particolare:
$2 le i+1 le n to 2 le p(i+1) le n$ in quanto $p(1)=1$.
Si in effetti non mi è molto chiara la nozione di permutazione.

Scusami, in un gruppo delle permutazioni $S_n$ esiste solo una permutazione che fissa tutti gli elementi di $I_n$ ?

Ciao

[fmnq]

Scusami, in un gruppo delle permutazioni $S_n$ esiste solo una permutazione che fissa tutti gli elementi di $I_n$ ?

Si chiama "identità".