Stickelberger ha scritto:Mi dispiace che il tuo professore non sa inventarsi esercizi migliori.
Perche’ non e’ molto naturale dimostrare questa disuguaglianza per induzione.
Si osserva che ${(2n)!}/(n!)^2$ e’ il coefficienti binomiale $((2n),(n))$.
Si tratta del coefficiente centrale nel binomio di Newton.
E quindi e' il piu’ grande fra i coefficienti binomiali $((2n),(k))$ per $0\le k\le 2n$.
Abbiamo quindi che $(2n+1)((2n),(n))>\sum_{k=0}^{2n}((2n),(k))=(1+1)^{2n}$.
Si ha quindi che $((2n),(n))>{4^n}/{2n+1}$ per $n\ge 1$.
E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che
${4^n}/{2n+1}> 2^{sqrt{n}}/{n^2+1}$.
Questo e’ banale, perche’ i numeratori soddisfano $4^n>2^{\sqrt{n}$ mentre
i denominatori soddisfano $2n+1\le n^2+1$, almeno se $n>1$.
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