Induzione con cogruenza

[J0sePH_]

nelle dispense c'è scritto così, quindi non saprei

[axpgn]

Beh, allora noi nemmeno

Comunque penso sia così perché è vera e si presta ad essere dimostrata col principio di induzione … provaci ...

[J0sePH_]

posso linkare il documento da cui le ho prese?, non vorrei essermi espresso male


comunque sia ho scoperto che quest'ultime non verranno messe nell'esame ma sono comunque curioso di scoprire come si fanno, adesso ci provo per conto mio e posto i risultati.

adesso so che mi ucciderete ahah ma avrei un ultima domanda, dovrei dimostrare per induzione questo:






adesso io so che prima di procedere dobbiamo in un qualche modo far saltare fuori l'ipotesi, dal primo membro (quello con Pn+1)
ma non riesco a "dividere" il primo membro in nessun modo, non c'è qualche proprietà che mi permette di dividere quel 2^√n+1

[J0sePH_]

forse e dico forse sono arrivato a qualcosa (per l'ultima che ho scritto intendo)
eccola qui:













non so se ho fatto cose "illegali" matematicamente parlando

P.S mi sono scordato di scrivere sopra che questa è valida solo per n≥2

[Stickelberger]

Mi dispiace che il tuo professore non sa inventarsi esercizi migliori.
Perche’ non e’ molto naturale dimostrare questa disuguaglianza per induzione.

Si osserva che ${(2n)!}/(n!)^2$ e’ il coefficienti binomiale $((2n),(n))$.
Si tratta del coefficiente centrale nel binomio di Newton.
E quindi e' il piu’ grande fra i coefficienti binomiali $((2n),(k))$ per $0\le k\le 2n$.
Abbiamo quindi che $(2n+1)((2n),(n))>\sum_{k=0}^{2n}((2n),(k))=(1+1)^{2n}$.

Si ha quindi che $((2n),(n))>{4^n}/{2n+1}$ per $n\ge 1$.

E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che

${4^n}/{2n+1}> 2^{sqrt{n}}/{n^2+1}$.

Questo e’ banale, perche’ i numeratori soddisfano $4^n>2^{\sqrt{n}$ mentre
i denominatori soddisfano $2n+1\le n^2+1$, almeno se $n>1$.

[J0sePH_]

Mi dispiace che il tuo professore non sa inventarsi esercizi migliori.
Perche’ non e’ molto naturale dimostrare questa disuguaglianza per induzione.

Si osserva che ${(2n)!}/(n!)^2$ e’ il coefficienti binomiale $((2n),(n))$.
Si tratta del coefficiente centrale nel binomio di Newton.
E quindi e' il piu’ grande fra i coefficienti binomiali $((2n),(k))$ per $0\le k\le 2n$.
Abbiamo quindi che $(2n+1)((2n),(n))>\sum_{k=0}^{2n}((2n),(k))=(1+1)^{2n}$.

Si ha quindi che $((2n),(n))>{4^n}/{2n+1}$ per $n\ge 1$.

E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che

${4^n}/{2n+1}> 2^{sqrt{n}}/{n^2+1}$.
Questo e’ banale, perche’ i numeratori soddisfano $4^n>2^{\sqrt{n}$ mentre
i denominatori soddisfano $2n+1\le n^2+1$, almeno se $n>1$.

buonasera, prima di tutto grazie della risposta potrebbe rispiegarmi il passaggio qui sotto?:
Abbiamo quindi che (2n+1)(2nn)>∑k=02n(2nk)=(1+1)2n.

Si ha quindi che (2nn)>4n2n+1 per n≥1.

E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che

4n2n+1>2n√n2+1.



Purtroppo ho esame la prossima settima e non riesco in quest'ultimi e vedendo gli esami passati queste purtroppo ci sono



P.S comunque abbiamo utilizzato il binomio di Newton per il calcolo combinatorio ma non abbiamo mai fatto esercizi per induzione con quest'ultimo