trovo difficoltà nel dimostrare tale teorema, specialmente provare che il grado del resto $r(x)$ è strettamente minore del grado del divisore $b(x)$. Mi aiutereste?
Euclide (o chi per lui) ha scritto:Dati due polinomi $a(x)$, $b(x) in K[x]$, con $b(x) \ne 0 \Rightarrow \exists!$ $q(x)$ e $r(x)$ tali che:$a(x) = q(x)b(x) + r(x)$
Inizio la dimostrazione considerando un insieme $A = {a(x) - q(x)b(x) | b(x) \ne 0}$:
- se $a(x) - q(x)b(x) = 0 \Rightarrow r(x)=0$
- se $a(x) - q(x)b(x) \ne 0 \Rightarrow a(x) - q(x)b(x) = r(x)$
Poiché l'insieme $D$ dei gradi dei polinomi di $A$ è contenuto in $\mathbb{N}$, per il principio del buon ordinamento è ammesso un grado minimo $d >= 0$. Quindi posso dire che:
$deg(r(x)) >= 0$
Inoltre, se per assurdo si considerasse $deg(r(x)) > deg(b(x))$ si cadrebbe in contraddizione, poiché se $deg(r(x)) = d$ allora $deg(b(x)) < d$ che è assurdo, essendo $d$ il minimo.
Come faccio a dimostrare che $deg(r(x)) \ne deg(b(x))$?
Grazie in anticipo!
