Una dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra

Salve, ultimamente, in contemporanea con gli studi, ho voluto provare a dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra usando comunque un po' di analisi (e infatti non so se questa sia la sezione più adatta).
Per dimostrare il teorema ho provato a ragionare così:
1)Per prima cosa dimostriamo che una polinomiale di grado $n$, $p_n(z):CC->CC$ è una funzione suriettiva.
Per fare questo noto che $p_n(z)$ è asintonitcamente equivalente a $z_n$,e poi come si sa $z_n=\rho e^(n\theta i)$ .
Ora faccio $limsu p _((\rho,\theta)->(+oo,+oo)) \rho e^(n\theta i )$ e $limi n f_((\rho,\theta)->(+oo,+oo)) \rho e^(n\theta i )$, che fanno rispettivamente $+oo+ooi$ e $-oo-ooi$ e quindi per il motivo detto prima anche gli stessi limiti però per $p_n(z)$ darebbe gli stessi risultati, e per continuità la funzione assume tutti i valori intermedi ed è quindi suriettiva.
2)Dimostrato che $p_n(z)$ è suriettiva è ovvio che abbia uno zero, che chiameremo $z_0$.
3) Il rapporto $\frac{p_n(z)}{(z-z_0)}$ è nuovamente un polinomio (se $n>=2$) e quindi per il motivo detto prima avrà uno zero.
Ripetendo il procedimento, risulta che $p_n(z)$ ha $n$ zeri e quindi la dimostrazione è finita.

Secondo voi la dimostrazione è corretta oppure presenta degli errori (sperando che almeno parte della dimostrazione sia corretta).

Per prima cosa dimostriamo che una polinomiale di grado $n$, $p_n(z):CC->CC$ è una funzione suriettiva.

sei sicuro? la funzione $P_1(z)=1$ non è suriettiva e nemmeno un qualsiasi polinomio $P_n(z)=sum_(k=0)^(n)a_kRe(z)^k$ con gli $a_k$ reali

In realtà con $p_n(z)$ intedevo funzioni del tipo $z^n+a_1*z^(n-1)+...+a_n$, quindi per $n=1$ avrei $z+a_1$ dove gli $a_k$ sono valori o reali o complessi. Ovviamente se la funzione è costante o se prendo solo la parte reale di $z$ non mi è assicurata la suriettività.

Secondo te, quindi la dimostrazione è corretta, tenendo conto che prima non avevo definito bene $p_n(z)$?

So cos’è un polinomio
Quello alla fine dei conti risulta un polinomio reale.

Comunque il problema fondamentale è la tua affermazione sui valori intermedi. $CC$ non è totalmente ordinato quindi non ha senso parlare di valori intermedi.
Anche se ricordo di un post di eos o delirium in cui parlavano dell’ordine lessicografico, ma non so addentrarmi in questo.

Giusto, bel errore. Secondo te se definisco una relazione d'ordine usando il modulo, posso aggirare il problema, oppure potrei trovare una soluzione se dimostrassi che l'immagine è semplicemnte connessa?

Ordineresti $CC$ parzialmente, non totalmente.
Una dimostrazione topologica usa gli indici di avvolgimento: guarda quì.

Vai su "dimostrazioni" -> "dimostrazione topologica"

Grazie del link, a quanto pare era un idea che non poteva funzionare, infatti l'unica altra cosa che mi era venuta in mente è che dato che $CC$ è semplicemente connesso ha allora gruppo fondamentale banale, poi ho pensato che a una funzione continua induce un omomorfismo fra gruppi fondamentali e quindi ottenevo un altro gruppo banale, quindi l'immagine del polinomio risultava semplicemente connessa (però poi non so se usando l'argomentazione con i limiti potessi ottenere che la funzione fosse o no suriettiva).

Ma no, lascia stare questi ordini sui numeri complessi, l'idea originale di questo thread è semplicemente sbagliata e irrecuperabile.