Questo esercizio è corretto? [Gruppo ciclico]

[wattbatt]

Sugli appunti ho un esercizio che mi fa venire vari dubbi e vorrei capire se l'ho scritto male o non ho capito qualcosa io; il proiettore era rotto..l'esercizio è:

Trovare i sottogruppi ciclici di $(ZZ_12,+)$

Se non erro un gruppo G è ciclico se $EEginG$ tale che $G=<g>$, e nel caso della somma <g> è l'insieme di tutti i multipli di g.
Sotto alla consegna dell'esercizio sono elencati tutti i sottogruppi <n> con n che va da 0 a 11, scrivo quali sono le cose che più mi fan strano le altre magari vengono da sè:

1) C'è scritto $<1> ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}$ e non capisco perchè si fermi a 11, non è l'insieme dei multipli di 1? è come se si fermasse perchè $ZZ_12$ contiene solo 12 elementi, ma come mai?

Io ho capito che $ZZ_12$ è il quoziente di $ZZ$ con la relazione d'equivalenza "congruo a modulo 12"($-=_12$), ossia $ZZ$ viene partizionato nelle classi di resto di 12. ma essendo il quoziente l'insieme delle classi, e l'unione di tutte le classi fa $ZZ$, $ZZ_12$ non dovrebbe essere grande esattamente come $ZZ$? Non mi pare abbia solo 12 numeri..

2) Poi c'è scritto $<5> ={5,10,3,8,1,6,11,4,9,2,7,0}$, ho capito che è ciclico come gli altri sottogruppi perchè "si torna al punto di partenza", ma non capisco perchè è in conflitto con la definizione che conosco che ho scritto sopra: $<5>$ non è l'insieme dei multipli di 5 e quindi contiene 5,10,15 etc?

[Platone]

Non mi sembra tu abbia capito cosa sia $ZZ_12$.

Io ho capito che $ZZ_12$ è il quoziente di $ZZ$ con la relazione d'equivalenza "congruo a modulo 12"($-=_12$), ossia $ZZ$ viene partizionato nelle classi di resto di 12. ma essendo il quoziente l'insieme delle classi, e l'unione di tutte le classi fa $ZZ$, $ZZ_12$ non dovrebbe essere grande esattamente come $ZZ$? Non mi pare abbia solo 12 numeri..

Di quanto è scritto è corretta solo la prima affermazione.
Chiedi come mai si ferma a 11. Consideriamo ad esempio $12$, si ha $12 -=_12 0$, e lo 0 è già presente. Analogamente $13 -=_12 1$, eccetera. I possibili resti sono solo 12, quindi $ZZ_12$ ha in effetti solo 12 elementi.

[wattbatt]

puoi dirmi per favore quale punto del ragionamento qui di seguito è sbagliato più precisamente cosi lo correggo?

La partizione di un insieme ($ZZ$ per noi) è un insieme di suoi sottoinsiemi disgiunti che se uniti fanno l'insieme di partenza; in questo caso i sottoinsiemi di $ZZ$ che ho creato facendo il quoziente con la relazione ($-=_12$) sono le classi di resto, e il quoziente è l'insieme delle classi. La classe di resto di 0 per esempio sono tutti i numeri di $ZZ$ che divisi per 12 danno resto zero, che sono infiniti. Unendo tutte le classi di resto da 0 a 11 ottengo tutto $ZZ$ perché le classi sono i sottoinsiemi della partizione e per definizione unendole tutte mi danno l insieme di partenza

[Platone]

Quando quozienti, tutti gli elementi di un'unica classe "diventano" un unico elemento. Gli elementi dell'insieme quoziente sono le classi, e dato che ne hai solo 12, $ZZ_12$ ha solo 12 elementi.
Se non ti fosse ancora chiaro riguardati come sono definiti gli insiemi quozienti.

[wattbatt]

Quando quozienti, tutti gli elementi di un'unica classe "diventano" un unico elemento.

Ciao, scusami ma sinceramente questo passaggio non lo capisco anche se ho riguardato la definizione di quoziente e di classi da varie fonti. Le classi sono insiemi di elementi, il quoziente è un insieme di classi quindi è un insieme di insiemi....alla fine perchè non ci sono dentro gli elementi delle classi? Io rigorosamente non trovo una risposta a ciò....avrebbe più senso se il quoziente fosse definito come l'insieme degli indici delle classi, più che delle classi stesse.... io ovunque vedo scritto:

Data una relazione R su un insieme A le R-classi sono tipo $[a]_R={x in A|(a,x)inR}$, cioè tanti elementi di A, il quoziente è
$A|R={[a]_R|ainA}$ cioè l'insieme degli insiemi qui sopra....se ho $[1]_R,[2]_R,[3]_R$ e tu mi hai detto che il quoziente contiene solo 1,2,3, non è un pò imprecisa la definizione che usano tutti? sono gli indici delle classi che sono nel quoziente, non tutte le classi intere, o no?

[Platone]

Data una relazione R su un insieme A le R-classi sono tipo $[a]_R={x in A|(a,x)inR}$, cioè tanti elementi di A, il quoziente è
$A|R={[a]_R|ainA}$ cioè l'insieme degli insiemi qui sopra....se ho $[1]_R,[2]_R,[3]_R$ e tu mi hai detto che il quoziente contiene solo 1,2,3, non è un pò imprecisa la definizione che usano tutti? sono gli indici delle classi che sono nel quoziente, non tutte le classi intere, o no?

No.
Allora, vediamo di mettere un po' di cose a posto. Quando si dice che il quoziente $A/R$ è l'insieme delle classi, si sottintende l'insieme delle classi distinte. Il fatto che spesso (ma non sempre) non lo si specifichi dipende anche dal fatto che, come hai scritto tu, $A/R$ è in un certo senso un "insieme di insiemi": questo vuol dire che i suoi elementi sono degli insiemi e quindi per definizione di insiemi uguali (due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi), se $aRb$, allora $[a]=[b]$, ossia sono lo stesso elemento. In altre parole, la classe di equivalenza è sempre la stessa scegliendo come rappresentante uno qualsiasi degli elementi della classe. In $ZZ_12$, ad esempio, essendo $0,12,24,36,48,60,72,...$ tutti equivalenti stanno nella stessa classe, classe di diventa un unico elemento quando si passa al quoziente e si sceglie, per ovvie ragioni, di indicare la classe con il più piccolo dei suoi elementi, cioè $0$.
Infine, osserva che se fosse come dici te, vorrebbe dire che l'insieme di partenza $A$ e il quoziente $A/R$ sarebbe sempre isomorfi, e quindi non si capirebbe per quale motifo "fare tanta fatica" per costruire il quoziente quando potevamo tenerci già l'insieme di partenza. Se hai rivisto un po' di teoria su queste cose avrai anche sicuramente notato che al quoziente è associata una surgezione (in generale propria) $\varphi:A\to A/R$ detta, di solito, surgezione canonica.

Spero così ti sia più chiaro.
Ciao