Salve, ultimamente sto riniziando a studiare la teoria dei gruppi (e la trovo molto più complicata di analisi 2 e di geometria 2), e mi sono imbattuto in un esercizio, che dopo aver fatto, ho provato a generalizzare e mi è venuto un risultato strano.
L'esercizio chiedeva di dimostrare che se un gruppo è di ordine $pq$ con $p<q$ entrambi primi non è un gruppo semplice.
Per dimsotrarlo ho usato quest altro risultato (preso da un esercizio) "Sia $p$ il più piccolo primo che divide l'ordine di un gruppo finito. Allora un sottogruppo di indice $p$ è normale".
Dal risultato si dimostra che nel se un gruppo ha ordine $pq$ con $p<q$ primi, allora esiste un sottogruppo normale di ordine $q$ (a causa del teorema di Lagrange) e quindi il gruppo non è semplice.
La cosa strana per me è stata questa:
Prendiamo un gruppo $G$ di ordine $m=p_0^(a_0).....p_n^(a_n)$ siano $p_0<..... < p_n$ primi e siano $a_0,...,a_n$ dei numeri naturali. Per il risultato di prima esiste un sottogruppo normale di ordine $m/p_0$ e allora un gruppo il cui ordine non è un numero primo avrà un sottogruppo normale non banale e quindi non sarà un gruppo semplice.
Ora questo risultato non l'ho trovato in giro e mi sembra molto strano, quindi volevo sapere è corretta come deduzione, oppure c'è un errore? Se ho fatto qualche errore, dove ho sbagliato?
Per favore, se non vi reca disturbo, potreste togliermi questo dubbio.