Uno strano risultato sui gruppi semplici.

[mklplo]

Grazie per aver risposto, ma il teorema di Cauchy, non è una versione meno generale del teorema di Sylow?
Non capisco in che modo possa rendere vera questa affermazione:"un gruppo abeliano è semplice solo sè è di ordine primo".
Scusami se non capisco ma per me la teoria dei gruppi sta risultando davvero difficile.

[Martino]

Se $G$ ha ordine $m=pq$ con $p$ e $q$ primi, $p$ minore di $q$, allora esiste un sottogruppo di ordine $m/p$ perché in questo caso $m/p=q$ quindi basta usare il teorema di Sylow.

Se il gruppo G è abeliano tutti i sottogruppi sono normali quindi se prendi un elemento di ordine primo il sottogruppo H generato da tale elemento è normale quindi se G è semplice allora H=G.

In un gruppo abeliano finito esistono sottogruppi di ordine $d$ per ogni divisore $d$ dell'ordine di $G$. Per vederlo probabilmente esistono modi elementari, ma la cosa più facile è usare il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti.

[mklplo]

Grazie, finalmente penso di aver capito.