Esercizio sui radicali.

[maikkk]

Ciao a tutti! Sto affrontando i preliminari per un corso di Teoria degli Schemi e vorrei farmi le ossa sulle fondamenta algebriche.
Sto affrontando un esercizio base su ideali di spazi di matrici e insiemi algebrici affini e l'ultimo punto mi mette in difficoltà.
Il contesto è il seguente

\(
M = M_{2,2}(k) \simeq \mathbb{A}^n_k \\
\underline{\mathbf{a}} =\langle a^2+bc, d^2+bc, (a+d)b, (a+d)c\rangle \\
\underline{\mathbf{b}} = \langle ad-bc, a+d\rangle
\)

Devo mostrare che \( \sqrt{\underline{\mathbf{a}}} = \underline{\mathbf{b}}\)

Ho provato a far di conto, passando al quoziente \(M/\underline{\mathbf{b}}\), ma temo sia una perdita di tempo. Ho provato a scandagliare proprietà di radicali, ma non ho trovato nulla di utile.
Qualcuno riesce a darmi anche solo un hint?

[fmnq]

Anzitutto c'è un evidente errore molto grave: l'anello delle matrici 2x2 a ingressi in $K$ non è commutativo, mentre l'anello dei polinomi in 4 variabili sì (e ciò è sufficiente a dire che non sono isomorfi); tu devi lavorare con il secondo (perché la teoria degli schemi preliminare si occupa di spettri di anelli commutativi), e \(\mathfrak a, \mathfrak b\) sono ideali dell'anello dei polinomi (a ulteriore ragione, che senso avrebbero i generatori per questi ideali nell'anello delle matrici? Ovviamente nessuno).

Risolto questo, un'inclusione tra \(\sqrt{\mathfrak a}\subseteq\mathfrak b\) e \(\sqrt{\mathfrak a}\supseteq\mathfrak b\) è banale? Se sì quale? E l'altra?

[fmnq]

Adesso hai cambiato il testo

Il contesto è il seguente
\[
M = M_{2,2}(k) \simeq \mathbb{A}^n_k \\
\underline{\mathbf{a}} =\langle a^2+bc, d^2+bc, (a+d)b, (a+d)c\rangle \\
\underline{\mathbf{b}} = \langle ad-bc, a+d\rangle
\]

laddove prima c'era scritto

Il contesto è il seguente
\[
M = M_{2,2}(k) \simeq K[a,b,c,d] \\
\underline{\mathbf{a}} =\langle a^2+bc, d^2+bc, (a+d)b, (a+d)c\rangle \\
\underline{\mathbf{b}} = \langle ad-bc, a+d\rangle
\]

che era sbagliato, ma meno sbagliato di quel che c'è scritto adesso. Che facciamo, ti reffi?