Potrebbe essere completamente sbagliato, è tardi (o presto) ma... poniamo \( G=\mathbb{D}_{12} \) e \( X = \) insieme di tutte le molecole costruite come da problema.
Il gruppo diedrale \( \mathbb{D}_{12} \) dovrebbe contenere la rotazione identità (di ordine 1), 2 rotazioni di ordine 3, 2 rotazioni di ordine 6 e una rotazione di ordine 2 e dovrebbe contenere inoltre 6 simmetrie di ordine 2.
Dunque se \( g= \operatorname{id} \) abbiamo che \( \begin{vmatrix}X^{\operatorname{id}} \end{vmatrix} = 2^6 = 64 \)
Perché \( X \) essendo l'insieme di tutte le molecole descritte nel problema abbiamo la rotazione identità non cambia evidentemente niente, dunque ciascuna molecola è un punto fisso di \( X^{\operatorname{id}} \).
Se \( g=\) è una rotazione di ordine 6, per far si che \( gx \) sia un punto fisso abbiamo necessariamente che la scelta di un atomo (tra idrogeno e cloro) determina la scelta di tutti gli altri, quindi solo il benzene e il esaclorobenzene, sono punti fissi. \( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^1 = 2 \)
Se \( g=\) è una rotazione di ordine 3, per far si che \( gx=x \) abbiamo che la scelta di un atomo (tra idrogeno e cloro) determina la scelta di altri due atomi, dunque possiamo sceglierne due.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^2 = 4 \)
Se \( g=\) è una rotazione di ordine 2, per far si che \( gx=x \) abbiamo che la scelta di un atomo determina la scelta di un altro atomo, dunque possiamo sceglierne tre.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^3 = 8 \)
Se \( g=\) è una simmetria di ordine 2, di asse passante per due atomi opposti, per far si che \( gx \) sia un punto fisso, notiamo innanzitutto che i due atomi sull'asse di simmetria non cambiano dunque possiamo sceglierli liberamente, inoltre la scelta di un atomo che non è sull'asse di simmetria determina la scelta di un altro atomo, dunque possiamo sceglierne quattro.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^4 = 16 \)
Se \( g=\) è una simmetria di ordine 2, di asse non passante per due atomi, per far si che \( gx \) sia un punto fisso, notiamo che la scelta di un atomo determina la scelta di un altro atomo, dunque possiamo sceglierne tre.
\( \begin{vmatrix}X^g \end{vmatrix} = 2^3 = 8 \)
Abbiamo inoltre \( \begin{vmatrix}G \end{vmatrix} = 12 \) pertanto
\( \begin{vmatrix} G \text{ \ } X \end{vmatrix} = \frac{1}{12} (2^6 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 3 \cdot 2^4 + 3 \cdot 2^3)=13 \)
Che dovrebbe anche essere il totale di molecole che possiamo sintetizzare.
Ora il mio approccio è stato molto intuitivo e poco formale, è corretto il mio ragionamento? C'è un approccio più formale?
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Anche a me piace questo problema. Grazie!