Problemi di notazione algebra di Lie

Messaggioda Sabb » 27/12/2018, 15:22

Sto studiando l'algebra di Lie associata ad un gruppo di Lie e studiando in diversi libri sto trovando alcuni problemi nel capire alcune notazioni, dato che ognuno le riporta a modo suo, vi chiedo una mano per capire una volta per tutte questi concetti.
Dato un gruppo di Lie $G$ abbiamo la traslazione sinistra $L_a:G\to G$ tale che $g \mapsto ag$, dove $a,g \in G$, il differenziale agisce sui campi vettoriali in $G$, $(L_a)_{\ast}:T_gG \to T_{ag}G$, fin qua tutto ok.
Un campo vettoriale $X$ su $G$ è invariante a sinistra se per ogni $a, g\in G$ si ha $(L_a)_{\ast}X = X$, direi quindi che un campo vettoriale è invariante a sinistra se $(L_a)_{\ast}$ "porta" il campo $X_g\in T_gG$ nello stesso campo traslato $(L_a)_{\ast}X_g=X_{ag}\in T_{ag}G$. Definiamo quindi l'algebra di Lie $\mathfrak{g}$ di $G$ come lo spazio vettoriale dei campi vettoriali invarianti a sinistra su $G$.
Non riesco a capire la dimostrazione dell'isomorfismo tra $\mathfrak{g}$ e $T_eG$, dovrei provare che dato un vettore $v\in T_eG$, esiste un unico campo vettoriale $X\in \mathfrak{g}$ tale che $X_e=v$ (e che il campo $X$ sia analitico, ma non è questo che non capisco), quindi esiste un isomorfismo:
\[ \mathfrak{g} \to T_eG \hspace{10mm} X \mapsto X_e=v \]
Viene definito il campo $X$ nel seguente modo: per ogni $a\in G$, $X_a=(L_a)_{\ast}|_ev$, quindi si dimostra che $X$ è invariante a sinistra perché $X_{ag} = ... = (L_a)_{\ast}|_gX_g$.
In un altro libro si definisce il campo $X$ come $X_v|_g=(L_g)_{\ast}v$ e si dimostra che è invariante a sinistra perché $X_{v}$$|_{ag}$ $= ... = (L_a)_{\ast}X_v|_g$.
Io non riesco a capire queste notazioni, né la definizione del campo $X$, né la dimostrazione del fatto che sia invariante a sinistra. Sui concetti penso di poterci arrivare, ma se non riesco a capire cosa si intende con queste scritture non potrò mai farlo! Qualcuno può aiutarmi a chiarire questa cosa?
Avatar utente
Sabb
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 65 di 130
Iscritto il: 08/06/2018, 11:29

Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite