Parti stabili e strutture isomorfe

Messaggioda Spike32 » 27/12/2018, 16:48

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente.

Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!

Per la prima parte ho proceduto così:
$AA x,y in S, EE m,n in NN : 2^m = x$ e $2^n = y => x*y = 2^(m+n)$
Essendo $NN$ chiuso rispetto all'operazione $"+"$, $m+n in NN$, ne segue quindi che $2^(m+n) in S$. Quindi $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$.
E' possibile definire quindi un'applicazione:

$\cdot_{S} : (x,y) in S \times S -> x \cdot y in S$

Fin quì è corretto? Inoltre come faccio a verificare che e strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe?
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Re: Parti stabili e strutture isomorfe

Messaggioda fmnq » 27/12/2018, 17:31

Spike32 ha scritto:Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente.

Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!

Il punto esclamativo faceva parte del testo dell'esercizio, o si tratta solo di una richiesta molto perentoria?
Fin quì è corretto? Inoltre come faccio a verificare che e strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe?

Trova un isomorfismo tra loro; significa trovare una funzione $(S, \cdot)\to(NN, +)$ che sia biiettiva e un omomorfismo di monoidi. Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.
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Re: Parti stabili e strutture isomorfe

Messaggioda Spike32 » 27/12/2018, 17:45

fmnq ha scritto:
Spike32 ha scritto:Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei sapere se l'ho svolto correttamente.

Sia $S = {2^n : n in NN}$, verificare che $S$ è una parte stabile di $(NN, \cdot)$, e che le strutture $(S, \cdot)$ e $(NN, +)$ sono isomorfe!

Il punto esclamativo faceva parte del testo dell'esercizio, o si tratta solo di una richiesta molto perentoria?

Il punto esclamativo faceva parte dell'esercizio :-D
Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.

Mi spiace credo di non aver capito :(
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Re: Parti stabili e strutture isomorfe

Messaggioda Platone » 28/12/2018, 16:06

fmnq ha scritto:
Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.

Mi spiace credo di non aver capito :(


Quello che ti stava suggerendo Spike32 è di considerare l'applicazione $\varphi : NN \to S$ definita da $\varphi(n)=2^n$ e verificare che si tratta di un isomorfismo.
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Re: Parti stabili e strutture isomorfe

Messaggioda Spike32 » 29/12/2018, 09:15

Platone ha scritto:
fmnq ha scritto:
Una buona idea sarebbe mandare $n$ in $2^n$ e usare quel che hai appena dimostrato.

Mi spiace credo di non aver capito :(


Quello che ti stava suggerendo Spike32 è di considerare l'applicazione $\varphi : NN \to S$ definita da $\varphi(n)=2^n$ e verificare che si tratta di un isomorfismo.

Quindi l'unica cosa che mi resta da fare è verificare che l'applicazione sia biettiva (che a prima vista sembra esserlo) e dire che le due strutture sono isomorfe?
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Re: Parti stabili e strutture isomorfe

Messaggioda Platone » 29/12/2018, 13:25

Spike32 ha scritto:Quindi l'unica cosa che mi resta da fare è verificare che l'applicazione sia biettiva (che a prima vista sembra esserlo) e dire che le due strutture sono isomorfe?


Più che dire, bisogna verificare che si tratta di un isomorfismo. Quindi prima provi la biettività e poi che si conservano le operazioni , cioè che
$\forall n_1,n_2 \in NN$ si ha $\varphi(n_1+n_2)= \varphi(n_1)\cdot \varphi(n_2)$.

ps. mi rendo conto ora che il suggerimento era venuto da fmnq; Spike32 sei te :D
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