Mi rispondo da solo: chiaramente no; basta prendere $G=(\mathbb{Z},+)$ e $H=2 \mathbb{Z}$. La somma di due interi dispari è sempre pari e non necessita che i due termini siano opposti per appartenere ad $H$. In questo caso è addirittura $f((G \setminus H) \times (G \setminus H))=H$.