Esercizio con omomorfismo

[Spike32]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e vorrei gentilmente sapere se è svolto correttamente:

Siano $G_1(RR, +)$ il gruppo additivo dei numeri reali, e $G_2(RR^+, \cdot)$ il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi.
Sia $f : x in G_1 -> 7^x in G_2$. Stabilire se $f$ è un omomorfismo.

Io ho proceduto così:

$f$ è un omomorfismo da $G_1$ a $G_2$ se $AA x,y in G_1, f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.
$f(x+y) = 7^(x+y)$ e $f(x) \cdot f(y) = 7^x \cdot 7^y = 7^(x+y) => f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.

Basta questo per stabilire che $f$ è un omomorfismo?

Ringrazio tutti in anticipo

[fmnq]

Sì, basta. Osserva che (come conseguenza di ciò che hai dimostrato, ma anche come immediatamente si nota usando la definizione di $f$) $f(0)=1$. Osserva anche che $7$ non ha nessun ruolo particolare: tutte le mappe $f : n\mapsto a^n$ con $a>1$ sono omomorfismi (e in effetti isomorfismi) di gruppi da $G_1$ a $G_2$.

[Spike32]

Sì, basta. Osserva che (come conseguenza di ciò che hai dimostrato, ma anche come immediatamente si nota usando la definizione di $f$) $f(0)=1$. Osserva anche che $7$ non ha nessun ruolo particolare: tutte le mappe $f : n\mapsto a^n$ con $a>1$ sono omomorfismi (e in effetti isomorfismi) di gruppi da $G_1$ a $G_2$.

Grazie mille per la risposta. Quindi essendo $f$ un isomorfismo ho che è sia iniettiva che suriettiva giusto?

[fmnq]

Beh, sì. Ma la cosa tecnicamente più precisa da dire è che essendo $f$ un isomorfismo è sia un monomorfismo che un epimorfismo. "Iniettiva" e "suriettiva" sono termini che dovrebbero andare in disuso.

[Spike32]

Beh, sì. Ma la cosa tecnicamente più precisa da dire è che essendo $f$ un isomorfismo è sia un monomorfismo che un epimorfismo. "Iniettiva" e "suriettiva" sono termini che dovrebbero andare in disuso.

Ah ho capito, essendo che il mio professore sul suo libro non cita mai monomorfismo e epimorfismo non li conoscevo, quindi sono i relativi dei più comuni "iniettiva" e "suriettiva"?