Dimostrazione teorema sui gruppi finiti, ciclici

[3m0o]

Teorema: Se \( G \) e \(H \) sono gruppi finiti, ciclici e di ordine rispettivamente \( m \) ed \( n \) coprimi, allora il gruppo prodotto \( G \times H \) è un gruppo ciclico.

Dimostra il teorema nel seguente modo:
Sia \( (\mathbb{C}^{\times},\cdot)=(\mathbb{C}- \{0\},\cdot) \) il gruppo moltiplicativo di \( \mathbb{C} \) munito della moltiplicazione usuale. Siano \( \mu_{m}, \mu_{n} \subset \mathbb{C}^{\times} \) i sotto gruppi delle radici \(m\)-esime e \(n\)-esime dell'unità.

1. Dimostra che l'applicazione prodotto
\( \pi : \mu_{m} \times \mu_{n} \rightarrow \mathbb{C}^{\times} \)
\( (\zeta,\xi) \rightarrow \zeta \cdot \xi \)
È un morfismo dei gruppi
2. Dimostra che \( \operatorname{Im}(\pi) \) è un gruppo ciclico
3. Dimostra che \( \ker(\pi) \) si puo identificare a un sottogruppo di \(\mu_{m} \) e a un sottogruppo di \(\mu_{n}\). Dedurre che \( \ker(\pi)=\{(1,1)\} \)
4. Dimostra che \( \mu_{m} \times \mu_{n} \) è ciclico e concludere la dimostrazione del Teorema
5. Quale sottogruppo di \( \mathbb{C}^{\times} \) è il gruppo \( \operatorname{Im}(\pi) \) ?

Il problema è che non capisco bene il motivo per cui questi 4/5 punti dimostrerebbero il teorema... qui di seguito come ho risolto l'esercizio
\( \mu_{m} := \{ z \in \mathbb{C}^{\times} : z^m = 1 \} \) e in modo analogo \( \mu_{n} := \{ z \in \mathbb{C}^{\times} : z^n = 1 \} \)

1. \( \pi((\zeta,\xi) \times (\zeta',\xi') )= \pi((\zeta \zeta',\xi \xi') )=\zeta \zeta' \cdot \xi \xi' =\zeta \cdot \xi \cdot \zeta' \cdot \xi' = \pi((\zeta,\xi)) \pi((\zeta',\xi')) \)
E dunque \( \pi \) è un morfismo dei gruppi.
2. Abbiamo che \( \operatorname{Im}(\pi) \) è un gruppo finito siccome è l'immagine del gruppo finito \( \mu_{m} \times \mu_{n} \) per un morfismo, dunque è ciclico.
3. Consideriamo l'applicazione proiezione sulla prima coordinata
\( \pi_1 : \ker(\pi) \rightarrow \mu_{m} \) definita da \( \pi_1((\zeta,\xi))=\zeta \)
Vediamo che è un morfismo dei gruppi infatti
\( \pi_1((\zeta,\xi) \times (\zeta',\xi') )= \pi_1((\zeta \zeta',\xi \xi') )=\zeta \zeta' = \pi_1((\zeta,\xi)) \pi_1((\zeta',\xi')) \)
In modo analogo definiamo \( \pi_2 : \ker(\pi) \rightarrow \mu_{n} \) definita da \( \pi_2((\zeta,\xi))=\xi\) anche questa applicazione è un morfismo dei gruppi.
Dimostriamo che \( \pi \) è iniettiva
Sia \( (\zeta, \xi) \in \ker(\pi) \) tale che \( \zeta=1 \) allora siccome \( \pi((\zeta, \xi) )=\zeta \xi=1 \) segue che \( \xi=1 \)
E dunque \((\zeta, \xi)= (1,1)\) e in quanto \( \ker(\pi) \) s'identifica alla sua immagine per \( \pi_1 \) e \( \ker(\pi) \) s'identifica alla sua immagine per \( \pi_2 \), abbiamo che \( \operatorname{Im}(\pi_1) \) è un sottogruppo di \( \mu_{m} \) e \( \operatorname{Im}(\pi_2) \) è un sottogruppo di \( \mu_{n} \) pertanto per il teorema di Lagrange (della teoria dei gruppi) abbiamo che \( \begin{vmatrix} \ker(\pi) \end{vmatrix} \) divide sia \( m \) sia \(n \) che sono coprimi e dunque \( \begin{vmatrix} \ker(\pi) \end{vmatrix} = 1 \) e dunque \( \ker(\pi) = \{ (1,1) \} \)
4. Abbiamo che \( \pi \) è iniettivo ed è un isomorfismo dei gruppi tra \( \mu_{m} \times \mu_{n} \) verso la sua immagine \( \pi( \mu_{m} \times \mu_{n}) \subset \mathbb{C}^{\times} \), allora siccome \( \operatorname{Im}(\pi) \) è ciclico abbiamo che anche \( \mu_{m} \times \mu_{n} \) è ciclico.
Come concludo la dimostrazione?? Come faccio a legare tutto questo con il teorema? Grazie

[fmnq]

La dimostrazione si fa così: siccome gli ordini di $G$ e di $H$ sono coprimi, dato un generatore $g$ di $G$ e un generatore $h$ di $H$, l'elemento $(g,h)$ è un generatore di $G\times H$.

Per qualche misteriosa ragione, la soluzione che ti è stata proposta reputa più comprensibile farti fare questa dimostrazione utilizzando una rappresentazione concreta dei due gruppi ciclici $G$ e $H$; per quel che vale avresti potuto usare la rappresentazione \(\mathbb Z/n\mathbb Z\), e non sarebbe cambiato niente.