Immersione di Z in Q

[margherita.ciampi]

Sappiamo che $\mathbb{Z}$ non è un campo in quanto gli unici elementi invertibili sono $1$ e $-1$ . Durante l’esame però la professoressa mi ha chiesto se $\mathbb{Z}$ si può immergere in $\mathbb{Q}$ in quanto esiste un teorema a riguardo. Non sono riuscita a trovare la risposta, qualcuno può aiutarmi?

[dan95]

Qual è l'omomorfismo iniettivo $i : ZZ \mapsto QQ$ più semplice che ti viene in mente?

[margherita.ciampi]

Quello identico!

[dan95]

Sicura? Parlare di omomorfismo identità mi pare non abbia molto senso dato che $ZZ \sub QQ$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$i(n)=n/1$

[margherita.ciampi]

Purtroppo non so rispondere

[dan95]

La risposta è in spoiler

[margherita.ciampi]

E mi sa spiegare perché una volta immerso $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Q}$ può essere considerato un campo?!

[fmnq]

E mi sa spiegare perché una volta immerso $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Q}$ può essere considerato un campo?!

Non può, hai capito male la domanda che ti è stata fatta. Ma l'esame lo hai passato, anche senza sapere questa cosa?

[margherita.ciampi]

Ovviamente no

[vict85]

L'immersione canonica di \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{Q}\) è un morfismo di anelli¹. Non ha senso parlare di morfismi di campi quando una delle due strutture algebriche non è un campo.

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Note

1. È anche un morfismo di gruppi, di insiemi ordinati e persino una immersione di spazi topologici se si usano le usuali topologie sui due insiemi. ↑