[EX] Sottomonoidi connessi di $[-1,1]$

[otta96]

Dare una condizione necessaria e sufficiente affinché un intervallo di $[-1,1]$ sia un sottomonoide di $([-1,1],\cdot)$ (che coinvolgano gli estremi dell'intervallo possibilmente).

[fmnq]

\([-1,1]\) o \([0,1]\)?

[otta96]

Anche $[0,1/2]$ o ${0}$, ma anche molti altri.

[fmnq]

Non hai capito; il titolo del problema parla di \([-1,1]\), il testo di \([0,1]\).

[otta96]

Ah scusa non me ne ero accorto, ora ho corretto, è $[-1,1]$.

[dan95]

Mi verrebbe da dire tutti e soli gli intervalli $(a,1]$ e $[a,1]$, con $-1<a \leq 0$, perché contiene l'elemento neutro $1$ che ci deve stare per forza e deve essere chiuso quindi poiché $a \cdot b <min(a,b)$ per ogni $a,b>0$anche 0 ci deve stare.

[otta96]

Anche per $a=-1$ però sono sottomonoidi.
Comunque mi sono accorto che ho postato un esercizio diverso da quello che avevo in mente, ora dico cosa avevo veramente in mente.
Trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché un intervallo incluso in $[-1,1]$ contenente lo $0$ sia un sottosemigruppo di $([-1,1],\cdot)$ (ossia semplicemente sia chiuso rispetto alla moltiplicazione).

[fmnq]

Anche per $a=-1$ però sono sottomonoidi.
Comunque mi sono accorto che ho postato un esercizio diverso da quello che avevo in mente, ora dico cosa avevo veramente in mente.
Trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché un intervallo incluso in $[-1,1]$ contenente lo $0$ sia un sottosemigruppo di $([-1,1],\cdot)$ (ossia semplicemente sia chiuso rispetto alla moltiplicazione).

E' perlomeno banale osservare che ogni intervallo simmetrico della forma \([-a,a]\) per $a\ge 0$ ha questa proprietà, perché è chiuso per la moltiplicazione di numeri reali.

[dan95]

Tutti gli intervalli $[-a,b]$ con $a,b>0$ e $a \geq b$ levando anche gli estremi

[otta96]

Ma che c'entra $a>=b$? Con $[-1/2,1]$ questo criterio non funziona.
Piuttosto la condizione a cui avevo pensato io è:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia $I$ un intervallo con $0\inI$ e siano $a$ e $b$ i suoi estremi rispettivamente inferiore e superiore. Allora $I$ è chiuso per la moltiplicazione se e solo se $b>=a^2^^a\inI=>b\inI$.
Questo perché la moltiplicazione per qualsiasi numero positivo $<=1$ non da problemi perché è un'intervallo che contiene $0$, l'unico modo per uscire da $I$ sarebbe con la moltiplicazione di due suoi elementi negativi, se fosse $b<a^2$ o $I=[a,b)$ con $b=a^2$.