Equazioni in un corpo finito
Inviato: 12/01/2019, 14:24
Ho un dubbio su risoluzione di equazioni in un corpo a \( p \) elementi, con \( p \) numero primo. Ad esempio \( \mathbb{F}_5 \)
e risolvere \( x^2 + 2x + 2 = 0\)
I seguenti modi di risolverla sono tutti corretti oppure qualcuno di essi non lo è?
Metodo 1:
\( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2}= \frac{3 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \)
E segue che
\( x_1 = 2 \) e \( x_2= 1 \),
ma \( \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 4}{2} \) e segue che \( x_1= \frac{-1}{2} =2\) e \( x_2 = \frac{3+4}{2} =1 \)
Metodo 2:
\( x^2 + 2x + 2 = x^2 +2x -3 = (x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x_1 =-3=2 \) e \( x_2 = 1 \)
Metodo 3:
\( x^2 + 2x + 2 =(x+1)^2 +1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = -1 = 4 \) e \( x+1=2 \) oppure \( x+1=3 \) dunque \( x_1=2 \) e \( x_1=1\)
Nel senso tutti e tre i metodi mi danno gli stessi risultati, mi chiedevo però se uno di questi è formalmente sbagliato o non funziona sempre. Grazie mille.
e risolvere \( x^2 + 2x + 2 = 0\)
I seguenti modi di risolverla sono tutti corretti oppure qualcuno di essi non lo è?
Metodo 1:
\( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2}= \frac{3 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \)
E segue che
\( x_1 = 2 \) e \( x_2= 1 \),
ma \( \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 4}{2} \) e segue che \( x_1= \frac{-1}{2} =2\) e \( x_2 = \frac{3+4}{2} =1 \)
Metodo 2:
\( x^2 + 2x + 2 = x^2 +2x -3 = (x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x_1 =-3=2 \) e \( x_2 = 1 \)
Metodo 3:
\( x^2 + 2x + 2 =(x+1)^2 +1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = -1 = 4 \) e \( x+1=2 \) oppure \( x+1=3 \) dunque \( x_1=2 \) e \( x_1=1\)
Nel senso tutti e tre i metodi mi danno gli stessi risultati, mi chiedevo però se uno di questi è formalmente sbagliato o non funziona sempre. Grazie mille.