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Cercando di capire i moduli finitamente generati

14/01/2019, 18:31

Salve, continuando a studiare l'algebra sono arrivato a un punto che non riesco proprio a capire, cioé i moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (i termini sono in inglese, spero di aver tradotto bene). La cosa che non riesco a capire è com'è possibile che un sottomodulo di un modulo abbia un numero di generatori maggiore della base del modulo ?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

14/01/2019, 19:38

mklplo ha scritto:Salve, continuando a studiare l'algebra sono arrivato a un punto che non riesco proprio a capire, cioé i moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (i termini sono in inglese, spero di aver tradotto bene).
Modulo a ideali principali.

Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
La teoria dei moduli liberi è del tutto analoga all'algebra lineare, solo che ora invece che elementi di un campo i coefficienti scalari sono numeri interi. Ciò al netto del fatto che ora le combinazioni lineari, potendo avere solo valori interi... (finisci tu la frase)

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

14/01/2019, 20:16

Grazie per aver risposto, ma proprio non so come continuare la frase, al massimo posso pensare che la combinazione lineare darà valori interi.

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

14/01/2019, 21:30

C'è modo di ottenere $1$ come combinazione lineare intera di 2 e di 4?
\[
2n+4m=2(n+2m)
\] deve essere uguale ad 1, può accadere?

Per quanto riguarda il fatto che
un sottomodulo di un modulo [ha] un numero di generatori maggiore della base del modulo
questo succede in ogni cantone. Prendi un anello non noetheriano, lui guardato come modulo su sé stesso è certamente finitamente generato, ma ammette ideali (=sottomoduli) non finitamente generati.

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

14/01/2019, 21:52

No, $1$ e in generale ogni numero dispari,non può essere ottenuto come somma di numeri pari.
Per l'altra cosa, cosa intendi con cantone?
p.s:gli anelli notheriani non sono ancora stati definiti (infatti nel primo volume di "Basic Algebra" N.Jacobson non ne parla proprio).

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

15/01/2019, 01:33

"a ogni cantone" è un regionalismo per dire "dappertutto, continuamente". Il fatto è che la teoria dei moduli è un po' complicata da affrontare, non è niente di difficile ma serve una certa maturità matematica per potere apprezzare le affinità e le divergenze con l'algebra lineare.

Iniziamo dall'inizio; ti è chiaro che un anello \(R\) si può guardare come modulo \(R_R\) (diciamo che l'anello è commutativo, e quindi i moduli destri coincidono coi sinistri) su sé stesso in maniera relativamente banale? Ti è chiaro che esiste, a questo modo, una biiezione tra gli ideali di \(R\) come anello, e i sottomoduli dell'\(R\)-modulo \(R\)? Noto questo, dimostra quanto segue:

1. Se \(V\) è uno spazio vettoriale sul campo \(K\), allora esiste un insieme \(\Gamma\) con un isomorfismo \(K\)-lineare
\[
\begin{CD}
V @>\varphi>> K^{(\Gamma)}
\end{CD}
\] dove con \(K^{(\Gamma)}\) indico lo spazio vettoriale che si ottiene facendo \(\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}K\).

2. Se \(R\) è un anello che possiede almeno un ideale proprio non banale (ossia se esiste un ideale \(0\subsetneq I\subsetneq R\), allora non può esistere nessun \(\Gamma\) tale che il quoziente \(R/I\), guardato come \(R\)-modulo in modo ovvio (scrivi esplicitamente quale!), sia isomorfo a \(R^{(\Gamma)}\).

3. E' molto facile fare un esempio di $ZZ$-modulo che non può essere della forma $ZZ^\Gamma$ per nessun $\Gamma$ per ragioni di cardinalità, lo sai trovare?

Incidentalmente, questo esempio che è la maniera piu semplice di costruire un modulo non-libero, smette di essere vero per gli spazi vettoriali perché i campi non hanno ideali non banali.

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

15/01/2019, 01:42

@fnmq
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
mklplo frequenta le Superiori (in quarta credo) e non si accontenta di quello che insegnano a scuola ...

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

15/01/2019, 01:53

Se è così motivato e intraprendente l'età non dovrebbe essere un problema, anzi; prima inizia a vedere la matematica per quella che è, meglio è. Una certa familiarità con l'algebra lineare, un po' di maturità di pensiero (che non dipende dall'età anagrafica) e una piccola dose di algebra astratta (che mi pare abbia già digerito) sono tutto quel che serve per provare a fare gli esercizi che gli ho detto. Se sbaglia, mica si fa male qualcuno :)

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

15/01/2019, 16:14

@fmq:grazie per aver risposto.
Allora per provare a dimostrare la prima affermazione, penso di fare così:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $n=dim(V)$ e sia $ \Gamma$ un insime di cardinalità $n$. Sia ${v_1,...,v_n}$ una base su $V$ e sia ${k_1,...,k_n}$ una base di $K^n$.Sia $ \phi$ un omomorfismo da $V$ a $K^n$, si vuole dimostrare che $\phi$ è un isomorfismo. Per iniziare dimostriamo che è un monomorfismo, e questo è semplice da vedere, infatti se poniamo $k_i= \phi(v_i)$, allora risulta ovvio che il $ker(\phi)={0}$, inoltre da questa osservazione è banale vedere che $\phi$ è un epimorfismo e quindi $\phi$ è un isomorfismo (ho omesso i dettagli perché mi sembravano abbastanza semplici).

per la seconda penso di fare così:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Prima da quello che so $R/I$ posso vederlo come un $R$-modulo, infatti per definizione è un anello (e quindi un gruppo abeliano sotto l'addizione), inoltre posso prendere un'appliazione binaria da $R xx R/I$ a $R/I$ che soddisfa facilmente gli assiomi.
Per quanto riguarda la dimostrazione, pensavo di provare la "contropositiva" e quindi mi basta trovare un insieme che renda $R^(\Gamma)$ isomorfo a al quoziente tra $R$ e i suoi ideali banali. Per fare questo penso che basta prendere $\Gamma=\emptyset$ e $\Gamma={\emptyset}$, giusto?

per dimostrare la terza ho fatto così:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dato che la cardinalità di un sottomodulo di $ZZ$ dovrebbe essere compresa tra $0$ e $\aleph_0$, penso basti prendere per $\Gamma$ un qualunque insieme infinito, giusto?

Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

15/01/2019, 17:42

Solo la prima di queste dimostrazioni è parzialmente vera, del resto il fatto che devi dimostrare è equivalente all'esistenza di una base per $V$. Nota che non ho mai chiesto che $\Gamma$ fosse finito (il risultato resta vero anche se non lo è).

Nulla che non sia un'ovvietà è corretto della seconda dimostrazione.

Per quanto riguarda la terza, forse non hai capito cosa devi dimostrare; di che cardinalità è \(\mathbb Z^{(\Gamma)}\)? Di che cardinalità è \(\mathbb Z/n\mathbb Z\)? E quindi?
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