Cercando di capire i moduli finitamente generati

Scusa ma se l'affermazione sul fatto che se esiste un isomorfismo tra $R/I$ e $R^(\Gamma)$ allora $R$ $R/I$ e $R^\Gamma$ hanno stessa cardinalità è vera (cosa che avrei dimostrato prima, salvo errori), allor insieme all'affermazione di prima, non segue la tesI?
Cioè la dimostrazione:
"Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale."
dov'è che è sbagliata?

Ultima modifica di mklplo il 17/01/2019, 08:13, modificato 1 volta in totale.

Scusa le tante domande e risposte poco sensate, ma questi argomenti mi sono ostici, e grazie per il tuo aiuto.

questi argomenti mi sono ostici

A proposito di ostie, com’è andato a finire lo studio di PDE e CdV?

Ho deciso che argomenti così avanzati li tratterò solo dopo aver studiato tutte le basi. Per ora ho studiato solo: analisi 1, algebra lineare, geometria 1, analisi 2, geometria 2, teoria dei gruppi, teoria degli anelli e ora sto studiando teoria dei moduli. Finita algebra 1, vorrei studiare topologia dal Manetti (mi sembra si chiami così il libro) e poi pensavo di fermarmi e dimostrare tutti i risultati di ciò che ho studiato, primo per vedere se me li ricordo e secondo per vedere se li ho capiti, inoltre mi piacerebbe anche imparare a "usare" questi concetti per risolvere vari problemi.

Comunque, per sapere, qual è l'errore nella dimostrazione di sopra?
Per quanto mi impegni non riesco proprio a vederlo.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Dunque credi che la teoria dei moduli sia un argomento “di base”?

@gugo82:non è argomento del secondo anno?

il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro

Questo è sbagliato e confusionario.

@fmnq: non capisco, perché è sbagliato?

Dunque credi che la teoria dei moduli sia un argomento “di base”?

In un certo senso non hanno niente di "superiore", la teoria dei moduli è la stessa degli spazi vettoriali, al netto di molti fatti, ciascuno dei quali è "elementare", ma quando li consideri tutti insieme viene una teoria piuttosto vasta. Si tratta, quindi, di un argomento molto esteso e pieno di patologie, ma dal punto di vista meramente tecnico a uno studente con un buon corso di algebra elementare alle spalle non manca niente per leggere l'intero Lam da copertina copertina.

1. I moduli su $ZZ$-algebre si comportano in maniera più patologica dei moduli su $k$-algebre, perché al variare dell'anello di riferimento le proprietà dei moduli su quell'anello possono cambiare drammaticamente (ed è proprio la teoria dei moduli a illuminare questa differenza di comportamento: patologie e proprietà della categoria dei moduli sono indotte o inducono proprietà dell'anello $k$).

2. Nella teoria dei moduli astratta, diventano di importanza predominante le cosiddette condizioni catenarie (noetherianità e artinianità, Jordan-Hölder...).

3. La teoria degli anelli è resa complicata dal fatto che gli anelli hanno ideali, i campi no.

4. Gli anelli possono essere commutativi o non esserlo, e certi anelli (come per esempio quelli che nascono dall'analisi funzionale, che sono rappresentabili come anelli di operatori lineari su uno spazio vettoriale topologico) non possono essere commutativi per costruzione. La mancanza di commutatività di $R$ rende difficile l'"algebra lineare" anche quando in $R$ tutti gli elementi diversi da zero sono invertibili (cioè quando $R$ è un campo non commutativo): ad esempio, prova a definire il "determinante" di una matrice i cui ingressi sono quaternioni.

5. La teoria dei moduli su campi ha un significato geometrico sedimentato nell'intuizione "fisica", è la geometria degli spazi lineari/affini modellati sull'intuizione euclidea dello spazio assoluto e isotropo e delle forze agenti su corpi come vettori. La geometria dei moduli su anelli non commutativi, come sa chiunque sappia cos'è la dualità di Gel'fand (to lo sai?), è molto più complicata.

Ciascuno di questi problemi, preso da solo, e/o affrontato con qualcuno che frantumi la complessità della questione in una decina di esercizi "semplici", sarebbe abbordabile dall'OP. Il suo problema è la scarsa padronanza del lessico (e del significato delle parole). Ma quella la curano solo il tempo e l'esercizio.