Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati
Inviato: 16/01/2019, 13:11
Scusa ma se l'affermazione sul fatto che se esiste un isomorfismo tra $R/I$ e $R^(\Gamma)$ allora $R$ $R/I$ e $R^\Gamma$ hanno stessa cardinalità è vera (cosa che avrei dimostrato prima, salvo errori), allor insieme all'affermazione di prima, non segue la tesI?
Cioè la dimostrazione:
"Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale."
dov'è che è sbagliata?
Cioè la dimostrazione:
"Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale."
dov'è che è sbagliata?