Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 17/01/2019, 20:12

mklplo ha scritto:@fmnq: non capisco, perché è sbagliato?

Perché è falso: $R$ e \(R^{(\Gamma)}\) hanno molto spesso la stessa cardinalità (è sufficiente scegliere ad esempio $R,\Gamma$ tali che \(2^{|\Gamma|} < |R|\)).
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 17/01/2019, 20:24

Non ci avevo pensato però se io ho che $|R/I|=|R^(\Gamma)|$ e $|R|=|R^(\Gamma)|$ per transitività $|R|=|R/I|$ il che è vero solo se $I$ è il gruppo banale (giusto?), che è falso per ipotesi. Se poi $|R/I|=|R^(\Gamma)|$ e $|R|<|R^(\Gamma)|$ allora $|R|<|R/I|$ il che è falso, infine se $|R|>|R^(\Gamma)|$, allora $|R^(\Gamma)|=|(0)|$ e quindi per transitività $|R/I|=|(0)|$ e cioé $I$ è banale e questo è falso per ipotesi. Segue che $|R^(\Gamma)|$ deve essere diverso da $|R/I|$, come si voleva dimostrare.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 17/01/2019, 21:07

mklplo ha scritto:il che è vero solo se $I$ è il gruppo banale (giusto?)

No.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 17/01/2019, 21:12

Se l'errore è che ho scritto ideale al posto di gruppo è stata una distrazione.
Se l'errore non è questo potresti spiegarmi perché?
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 17/01/2019, 21:15

Se ho detto che è falso, è evidente che il motivo è che esiste un controesempio: trovalo da solo.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 17/01/2019, 21:36

Presumo che se al posto di "se $|R|=|R/I|$ allora $I=(0)$", dicessi che "se l'omomorfismo canonico da $R$ a $R/I$ fosse un isomorfismo allora $I=(0)$ " non cambierebbe niente giusto?
Comunque per il controesempio, $R$ può essere generato finitamente o o prodotto finito di anelli o un anello di polinomi con una quantità finita di indeterminate?
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 18/01/2019, 01:11

Il punto è che sapere che due anelli sono in biiezione è irrilevante; quello che spesso ti importa è sapere che sono in biiezione, che è una proprietà enormemente piu forte.

E' almeno una ventina di commenti, però, che la discussione è sui binari sbagliati. Torna indietro e prova a risolvere i primi esercizi che ti ho proposto.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 18/01/2019, 05:57

Ok, provo a pensarci e vedo se trovo una soluzione.
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda mklplo » 18/01/2019, 14:56

Giusto per sapere, se dimostro che i 3 spazi sono isomorfi, ho finito, oppure non ottengo niente di importante?
Se la risposta è sì allora : allora tra un modulo e la somma diretta delle sue copie c'è un monomorfismo, inoltre tra $R$ e $R/I$ c'è un epimorfismo (l'omomorfismo canonico), poi da $R/I$ e $R^(\Gamma)$ per ipotesi c'è un isomorfismo. Il monomorfismo è composizione dell'epimorfismo e dell'isomorfismo, allora è anche un epimorfismo, e quindi un isomorfismo. Segue che i tre moduli sono isomorfi. Da qui posso concludere che $I$ è $(0)$ o neanche l'isomorfismo è sufficiente per questo?
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Re: Cercando di capire i moduli finitamente generati

Messaggioda fmnq » 18/01/2019, 16:42

Non hai capito cosa devi dimostrare. O meglio, l'hai capito ma ti ostini a non dimostrarlo.
Ti ho chiesto di far vedere che non ogni $R$-modulo è libero. Il controesempio è \(R/I\) per $I$ ideale non banale di un anello $R$, guardato come modulo su sé stesso.

Supponi che esista un insieme $\Gamma$ tale che \(R/I\cong R^{(\Gamma)}\); questo è assurdo, perché il sottomodulo \(I\cdot R^{(\Gamma)}\)...
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