Aiuto esercizi principio di Induzione

Messaggioda GiuseppePyRex990 » 16/01/2019, 18:32

Salve a tutti chiedo gentilmente delle delucidazioni per due dimostrazione tramite il principio di induzioni alle quali mi sono bloccato e non riesco ad andare avanti...

Iniziamo:
1) Dimostrare che per ogni n € N si ha $ sum(3^i) $ che va da i= 0 ad n (scusate se scrivo cosi ma non riesco a capire come scriverla correttamente qui nel post) = $ (3^(n+1)-1) / 2 $
passo base n= 0 $ sum(3^0) $ = $ (3^(0+1)-1) / 2 $ esce 1 = 1 quindi è verificato.
passo induttivo :
ipotesi induttiva = $ sum(3^i) $ (che va da i= 0 ad n) = $ (3^(n+1)-1) / 2 $
tesi induttiva = $ sum(3^(n+1)) $ (che va da i= 0 ad n+1) = $ (3^(n+2)-1) / 2 $
Allora la $ sum(3^(n+1)) $ (che va da i= 0 ad n+1) = $ sum(3^i) $ (che va da i= 0 ad n) + $ (3^(n+1) ) $ quindi = $ (3^(n+1)-1) / 2 $ + $ (3^(n+1) ) $ = $ ((3^n*3-1+2*(3^n*3)) / (2)) $
arrivato qui mi fermo non riesco a capire come arrivare alla tesi, ovvero a $ (3^(n+2)-1) / 2 $

2) De finiamo la successione dei cn per ricorsione su n 2 N come segue:
$ c0 = 2 $
$ cn+1 = 1/(cn) $
(n+1 ed n sono pedici di C cosi come lo 0, scusate di nuovo se non sono pratico del forum ).
Dimostrare che per ogni n >= 0
$ 1/2 <= cn <= 2 $

Passo base n=0 : $ 1/2 <= c0 <= 2 rArr 1/2 <= 2 <= 2 $ dunque è verificato.
Passo induttivo
Ipotesi induttiva $ 1/2 <= cn <= 2 $
tesi induttiva $ 1/2 <= cn+1 <= 2 rArr 1/2 <= (1/(cn)) <= 2 $
qui non so piu come andare avanti.



PS nel caso le mie formule scritte qui sul post risultino incomprensibili allego un immagine dei due esercizi:
1)

Immagine

2)

Immagine

Grazie in anticipo per le risposte di aiuto. :)
GiuseppePyRex990
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Re: Aiuto esercizi principio di Induzione

Messaggioda bub » 19/01/2019, 18:42

$(3^n*3-1+2*(3^n*3)) / (2)$

qua se metti in evidenza $3^n*3$ ottieni

$((3^n*3) * 1 + (3^n*3) * 2 -1) / (2) =$

$= ((3^n*3) * (1 + 2) -1) / (2) =$

$= ((3^n*3) * (3) -1)/ (2) =$

$= ((3^n*3^2) -1)/ (2) =$

$= (3^(n+2)-1) / (2)$

Nel secondo esercizio conviene dimostrare per induzione che $forall n (c_n = 2 vv c_n = 1/2)$ ($vv$ significa "oppure") e si ha la tesi.
bub
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