I 2-Sylow di S4

Messaggioda Lebesgue » 19/01/2019, 01:10

Ciao a tutti, volevo chiedere se la seguente dimostrazione del fatto che ogni 2-sylow di $S_4$ è isomorfo a $D_4$ è corretta:

Sia $P$ un 2-sylow di $S_4$, allora $|P|=8$. Consideriamo ora $H=<(1234)>$, allora $H\cong\mathbb{Z}_4$.
In particolare si $N(H)$ il normalizzatore di $H$ in $S_4$. Si ha che, considerando l'azione di coniugio di $S_4$ sui suoi sottorguppi, dalla formula orbita-stabilizzatore si ricava $|N(H)|=8$, ovvero per i teoremi di Sylow $N(H)$ è un 2-sylow.
Ora $H\subset N(H)$ e $H$ è normale in $N(H)$ poichè ha indice 2.
Cerco ora $\tau\in N(H)$ tale che: $\tau(1234)\tau^{-1}=(1234)^{-1}$ cioè prendo $\tau=(24)$.
Posto $K=<(24)>$ si ha $K\cong\mathbb{Z}_2$.
Inoltre $H\cap K={e}$ (si vede ad occhio) e per motivi di cardinalità $HK=N(H)$ (HK è sottogruppo perchè H è normale).
Allora per il teorema di decomposizione in prodotto semidiretto si ha che $N(H)\cong H\rtimes K \cong \mathbb{Z}_4 \rtimes \mathbb{Z}_2$
Cioè $N(H)\cong D_4$. Poichè $N(H)$ è un 2-sylow e questi sono tutti coniugati, si ottiene che ogni 2-sylow di S4 è isomorfo a D4.

Va bene come ragionamento?

Lo chiedo perchè a lezione invece il prof aveva ragionato praticamente allo stesso modo, ma aveva preso $H=<(12),(34)>\cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ e aveva preso poi $K=<(13)(24)>$ con $K\subset N(H)$ e nuovamente $N(H)$ è un 2-sylow per cardinalità. (praticamente K scambia i generatori di H) e aveva quindi detto che il 2 sylow è dato da: $(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)\rtimes_\phi\mathbb{Z}_2$, dove $\phi:\mathbb{Z}_2\to Aut(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)\cong S_3$ manda (12) in (34) e viceversa.
(praticamente se $(a,b)\in\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, allora $\phi(a,b)=(b,a)$)
Aveva poi preso un elemento di ordine 4 dato da ((1,0),1) e un elemento di ordine 2 dato da ((0,0),1) e aveva fatto vedere che rispettavano la regola di D4, quindi il 2-sylow è D4.
Lebesgue
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