Azioni a sinistra

Sia \( a_\ell(g)(x)=g \cdot x \) un azione a sinistra di \( G \) su \( X \). Sia \( K \) un campo e \( \mathcal{F}(X;K) = \{ \varphi : X \rightarrow K \} \) il \( K\)-spazio vettoriale di funzioni su \( X \) a valori in \( K \).
A tutti \( g \in G \) e a tutte le funzioni \( \varphi : X \rightarrow K \) associamo una nuova funzione \(\varphi_{\mid g} (x) := \varphi(g \cdot x ) \)

Dimostra che l'applicazione \( \cdot_{\mid g} : \varphi \rightarrow \varphi_{\mid g} \) è un automorfismo \( K \)-lineare di \( \mathcal{F}(X;K) \)

Non capisco molto bene, \( (\varphi \circ \psi)_{\mid g}= \varphi_{\mid g} \circ \psi_{\mid g} \) ?
Ma se faccio \( (\varphi \circ \psi)_{\mid g}(x)=\varphi(\psi(g \cdot x )) \)
Mentre \( \varphi_{\mid g} \circ \psi_{\mid g} (x) = \varphi_{\mid g}(\psi(g \cdot x)) = \varphi(g \cdot g \cdot x ) \) ?? Non è un morfismo..

Però riesco a dimostrare che è un applicazione lineare inversibile... quindi effettivamente un isomorfismo tra gruppi.
Infatti
\( (\cdot_{\mid g})((\lambda \varphi )+ \psi) (x) = ( (\lambda \varphi ) + \psi )_{\mid g} (x) = ((\lambda \varphi ) + \psi ) (g \cdot x) = \lambda \varphi (g \cdot x) + \psi(g \cdot x) \)
\( (\cdot_{\mid g})((\lambda \varphi )+ \psi) (x) = \lambda (\cdot_{\mid g})( \varphi )(x) +(\cdot_{\mid g})( \psi)( x) \)

Inoltre è inversibile perché
\( (\cdot_{\mid g^{-1}}) \circ (\cdot_{\mid g}) (\varphi)(x)= (\cdot_{\mid g^{-1}})(\varphi_{\mid g})(x))=\varphi_{\mid g^{-1}}(g\cdot x)= \varphi(x) \) Dunque
\(( \cdot_{\mid g^{-1}}) \circ (\cdot_{\mid g})= \operatorname{Id}_{ \mathcal{F}(X;K)} \)

Qualcuno puo aiutarmi a capire??

Devi solo mostrare che è biiettiva e lineare, e l'hai fatto.

Inoltre \( \displaystyle \varphi \circ \psi \) non ha senso, prova a pensarci (in altre parole $F(X,K)$ non è chiuso rispetto alla composizione).

Dimostra che l'applicazione \( \cdot_{\mid g} : \varphi \rightarrow \varphi_{\mid g} \) è un automorfismo \( K \)-lineare di \( \mathcal{F}(X;K) \)

Non capisco molto bene, \( (\varphi \circ \psi)_{\mid g}= \varphi_{\mid g} \circ \psi_{\mid g} \) ?

No, piuttosto \(\varphi|_{gh}=(\varphi|_g)|_h\).