Azioni a sinistra e teorema di Fermat

Messaggioda 3m0o » 21/01/2019, 21:01

All'esame di stamattina hanno posto questo problema e non sono riuscito a fare gli ultimi tre punti, e mi è rimasto lì, non lo vedo proprio, qualcuno avrebbe un idea?
Sia \( G \) un gruppo di cardinalità \( p \geq 2 \), con \( p \) un numero primo, e sia \( e_G \) il suo elemento neutro.
Sia inoltre \( \mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) = \{ f : G \rightarrow \mathcal{A} \} \)
Sia \( h \in G \) e \( f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \) definiamo \( (h \star f)(g) =f(gh) \)
1. Dimostrare che \( (h \star f ) \) è una \(G\) azione a sinistra.
2. Dimostrare che se \(h \neq e_G \) allora l'ordine di \(h \) è \(p \).
3. Dedurre quindi che \( f \in\mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) \) è invariante per \( h \) ovvero che \( h \star f=f \).
4. Dedurre il numero di orbite dell'azione.
5. Dedurre il piccolo teorema di Fermat.

Ps: sono andato a memoria nel enunciato del problema perché non ci hanno lasciato portare via i fogli a brutta.
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Messaggioda j18eos » 23/01/2019, 09:21

Buon dì,

cosa sarebbe \(\displaystyle\mathcal{A}\)?
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re: Azioni a sinistra e teorema di Fermat

Messaggioda 3m0o » 25/01/2019, 12:03

Purtroppo non ricordo... :D
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Re: Azioni a sinistra e teorema di Fermat

Messaggioda 3m0o » 18/02/2019, 23:37

Ok ci hanno dato il testo del problema dell'esame.

Sia \( G \) un gruppo finito di cardinalità \( p \geq 2 \), con \( p \) un numero primo, e sia \( e_G \) il suo elemento neutro.
Sia \( \mathcal{A} \) un insieme di cardinalità \( a \geq 1 \), e notiamo
\( \mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) = \{ f : g \in G \rightarrow f(g) \in \mathcal{A} \} \)
L'insieme delle funzioni di \( G \) a valori in \( \mathcal{A} \).
Per tutti gli \( h \in G \) e tutte le funzioni \( f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \) definiamo la funzione \( h \star f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \), per
\(h\cdot f: g \rightarrow (h \star f)(g) :=f(g \cdot h) \).
1. Dimostrare che \( (h,f)\rightarrow h \star f \) definisce un azione a sinistra di \(G\) su \(\mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \).
2. Dimostrare che se \(h\in G\) tale che \(h \neq e_G \) allora \(h \) è di ordine \(p \) e che una funzione \(f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \), che è invariante sotto l'azione di \(h \), ovvero che \( h \star f=f \), è costante
3. Dedurre il numero di orbite dell'azione di \(G \) su \(\mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \)
4. Dedurre il piccolo teorema di Fermat.
3m0o
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Re: Azioni a sinistra e teorema di Fermat

Messaggioda 3m0o » 11/03/2019, 21:18

3m0o ha scritto:Ok ci hanno dato il testo del problema dell'esame.

Sia \( G \) un gruppo finito di cardinalità \( p \geq 2 \), con \( p \) un numero primo, e sia \( e_G \) il suo elemento neutro.
Sia \( \mathcal{A} \) un insieme di cardinalità \( a \geq 1 \), e notiamo
\( \mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) = \{ f : g \in G \rightarrow f(g) \in \mathcal{A} \} \)
L'insieme delle funzioni di \( G \) a valori in \( \mathcal{A} \).
Per tutti gli \( h \in G \) e tutte le funzioni \( f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \) definiamo la funzione \( h \star f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \), per
\(h\cdot f: g \rightarrow (h \star f)(g) :=f(g \cdot h) \).
1. Dimostrare che \( (h,f)\rightarrow h \star f \) definisce un azione a sinistra di \(G\) su \(\mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \).
2. Dimostrare che se \(h\in G\) tale che \(h \neq e_G \) allora \(h \) è di ordine \(p \) e che una funzione \(f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \), che è invariante sotto l'azione di \(h \), ovvero che \( h \star f=f \), è costante
3. Dedurre il numero di orbite dell'azione di \(G \) su \(\mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \)
4. Dedurre il piccolo teorema di Fermat.


1.
È sufficiete verificare che
\[ e_G \star f= f, (h \cdot h') \star f = h \star ( h' \star f) \]
Abbiamo per tutti i \( g \in G \),
\[ e_G \star f(g) = f(g \cdot e_G)=f(g) \]
\[ (h \cdot h') \star f(g)=f(g,h,h'), h \star ( h' \star f)(g)=( h' \star f)(g\cdot h )=f((g \cdot h)\cdot h')=f(g\cdot h \cdot h') \]

2. Sia \( h \neq e_G \) Visto che \( G \) è d'ordine \( p \) primo, per il teorema di Lagrange \( h \) è di ordine 1 oppure di ordine \( p \). Ma \( h \) non è d'ordine 1 (altrimenti sarebbe \( e_G \) ), dunque \( h \) è d'ordine \( p \). In particolare
\[ G= \{ h^0 = e_G, h^1, \ldots, h^{p-1} \} \]
Supponiamo che \( h \star f = f \) allora
\[ h^2 \cdot f= h \star f = f, \ldots , h^{p-1} \star f = f \]
Dunque prendendo \( g = e_G \) otteniamo
\[ f(e_G) = f(e_G \cdot h ) = f(h) = f(e_G \cdot h^2 ) = f(h^2) = \ldots = f(h^{p-1}) \]
E dunque \( f(h') \) vale \( f(e_G) \) per tutti gli \( h' \in G \)

3. Utilizziamo la formula di Burnside:
\[ \begin{vmatrix} G/ \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \end{vmatrix}= \frac{1}{p} \sum\limits_{h \in G} \begin{vmatrix} \mathcal{F}(G,\mathcal{A})^h \end{vmatrix} \]

Se \( h = e_G \) tutti gli elementi sono un punto fisso e \( \begin{vmatrix} \mathcal{F}(G,\mathcal{A})^{e_G} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \end{vmatrix} = a^{p} \).
Se \( h \neq e_G \) allora se \( f \) è un punto fisso abbiamo che \( f \) è una funzione costante e evidentemente tutte le funzioni costanti sono fisse sotto l'azioni di \( h \) dunque \( \begin{vmatrix} \mathcal{F}(G,\mathcal{A})^h \end{vmatrix} = a \) Abbiamo dunque:
\[ \begin{vmatrix} G/ \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \end{vmatrix} = \frac{1}{p}(a^p + (p-1)a)=\frac{1}{p}(a^p - a) + a \]

4. Siccome \( \begin{vmatrix} G/ \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \end{vmatrix} \) e \( a \) sono numeri interi abbiamo che \( \frac{1}{p}(a^p - a ) \) dev'essere intero
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Re: Azioni a sinistra e teorema di Fermat

Messaggioda Reyzet » 11/03/2019, 21:50

Mi sembra tutto giusto!
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