Azioni a sinistra e teorema di Fermat
Inviato: 21/01/2019, 21:01
All'esame di stamattina hanno posto questo problema e non sono riuscito a fare gli ultimi tre punti, e mi è rimasto lì, non lo vedo proprio, qualcuno avrebbe un idea?
Sia \( G \) un gruppo di cardinalità \( p \geq 2 \), con \( p \) un numero primo, e sia \( e_G \) il suo elemento neutro.
Sia inoltre \( \mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) = \{ f : G \rightarrow \mathcal{A} \} \)
Sia \( h \in G \) e \( f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \) definiamo \( (h \star f)(g) =f(gh) \)
1. Dimostrare che \( (h \star f ) \) è una \(G\) azione a sinistra.
2. Dimostrare che se \(h \neq e_G \) allora l'ordine di \(h \) è \(p \).
3. Dedurre quindi che \( f \in\mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) \) è invariante per \( h \) ovvero che \( h \star f=f \).
4. Dedurre il numero di orbite dell'azione.
5. Dedurre il piccolo teorema di Fermat.
Ps: sono andato a memoria nel enunciato del problema perché non ci hanno lasciato portare via i fogli a brutta.
Sia \( G \) un gruppo di cardinalità \( p \geq 2 \), con \( p \) un numero primo, e sia \( e_G \) il suo elemento neutro.
Sia inoltre \( \mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) = \{ f : G \rightarrow \mathcal{A} \} \)
Sia \( h \in G \) e \( f \in \mathcal{F}(G,\mathcal{A}) \) definiamo \( (h \star f)(g) =f(gh) \)
1. Dimostrare che \( (h \star f ) \) è una \(G\) azione a sinistra.
2. Dimostrare che se \(h \neq e_G \) allora l'ordine di \(h \) è \(p \).
3. Dedurre quindi che \( f \in\mathcal{F}(G,\mathcal{A} ) \) è invariante per \( h \) ovvero che \( h \star f=f \).
4. Dedurre il numero di orbite dell'azione.
5. Dedurre il piccolo teorema di Fermat.
Ps: sono andato a memoria nel enunciato del problema perché non ci hanno lasciato portare via i fogli a brutta.