Semigruppo/Monoide Cancellativo

Messaggioda emdant » 24/01/2019, 01:32

Salve sono uno studente di Informatica che sta approfondendo alcuni argomenti sui semigruppi e nel farlo ho incontrato un problemino in questo esercizio:

Sia $S$ un semigruppo privo di identità. Mostrare che $S$ è cancellativo senza idempotenti se e solo se $S^1$ è un monoide cancellativo.

Per mostrare la prima parte ($\Rightarrow$) ho considerato, essendo $S^1 = S uu {1}$, allora $S^1$ è un monoide, per provare che è cancellativo ho detto che $AA t_1, t_2 in S^1$ si ha che
$1*t_1 = 1*t_2 rArr t_1 = t_2$ e
$t_1*1 = t_2*1 rArr t_1 = t_2$ (sia a destra che a sinistra perché 1 è identità),
per cui $S^1$ è un monoide cancellativo.

Per la seconda parte ($lArr$), in modo "analogo" a prima, se $S^1$ è cancellativo, allora $S = S^1 \\ {1}$ è ancora cancellativo.
A questo punto, per dimostrare che $S$ non abbia idempotenti volevo procedere per assurdo, però mi sono bloccato, l'idea era utilizzare l'ipotesi che $S$ è cancellativo per trovare un assurdo.
Nel caso abbia sbagliato qualcosa nel procedimento o nel capire qualche definizione, tutti gli aiuti sono ben accetti, sto praticamente studiando la materia da solo e spero che i miei ragionamenti fìlino. :roll:
emdant
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Re: Semigruppo/Monoide Cancellativo

Messaggioda fmnq » 28/01/2019, 02:30

emdant ha scritto:Per mostrare la prima parte ($\Rightarrow$) ho considerato, essendo $S^1 = S uu {1}$, allora $S^1$ è un monoide, per provare che è cancellativo ho detto che $AA t_1, t_2 in S^1$ si ha che
$1*t_1 = 1*t_2 rArr t_1 = t_2$ e
$t_1*1 = t_2*1 rArr t_1 = t_2$ (sia a destra che a sinistra perché 1 è identità),
per cui $S^1$ è un monoide cancellativo.

Hai dimostrato una tautologia; quel che devi far vedere è invece che in $S^1$ vale che $st=st'\Rightarrow t=t'$, e che una simile proprietà cancellativa vale a sinistra.

Il viceversa, a notte fonda mi sembra ovvio: un monoide cancellativo non può avere idempotenti diversi da 1 (perché $a^2=a$ ti fa cancellare $a$, e allora...).
fmnq
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