perchè verificare che le operazioni siano interne prova un sottoanello?

Non cerco necessariamente la spiegazione formale, è che la spiegazione intuitiva mi sembra strana

In un esercizio c'è scritto che se $A$ è un anello e voglio provare che $B$ suo sottinsieme è un sottoanello, somma e prodotto (classici, coi numeri) devono essere operazioni interne, e anche l'opposto rispetto alla somma.

Io precisamente so che $(B,+,*)$ è un anello se $(B,+)$ è un gruppo abeliano e $(B,*)$ un semigruppo, spero sia giusto;
questo significa che l'operazione $+$ deve essere commutativa; cosa centra il provare che è un operazione interna col provare che è commutativa?
Oppure semplicemente siccome verifico che $(B,+,*)$ sta tutto dentro $A$ dico che è un sottoanello? è solo questa la spiegazione?

Devi controllare che le operazioni di anello di $A$, quando ristrette a operazioni tra elementi di $B$, restituiscono elementi di $B$.

cosa centra il provare che è un operazione interna col provare che è commutativa?

Niente, ma se non è nemmeno un'operazione, non ha speranza di essere commutativa. (Le "operazioni" su $A$ sono mappe da una opportuna potenza $A^n$ verso $A$, e una operazione $f : A^n\to A$ si dice "$\Sigma_n$-invariante" quando per ogni permutazione $\sigma\in \Sigma_n$, si ha $f(a_{\sigma 1},...,a_{\sigma n})=f(a_1,...,a_n)$; il caso di una operazione [binaria] commutativa è quello dove $n=2$).

Proviamo...

Prendiamo $A=ZZ$ con le operazioni usuali e $B=\{0,-1,1\}$ con le operazioni “mutuate” da $A$.
Puoi dire che $B$ è un sottoanello di $A$?
Perché?