Algebra, Gruppi
Inviato: 01/02/2019, 18:19
sia K un campo con almeno 3 elementi e $G=K xx K^°$ con $K^° =k-{0}$
definiamo in G la seguente operazione $(a,b)(c,d)=(c+ad, bd)$
1) Verificare che G è un gruppo non abeliano e determinarne il centro.
2) trovare un sottogruppo H e un sottogruppo normale N di G, entrambi non banali, tale che $H nn N = {e_G} $ e $G=HN$
Sia $K= ZZ_7 $
3) provare che N è ciclico, H è abeliano e che fissato un generatore n di N, ogni elemento di G si scrive in modo unico come $g=hn^i$ con $h in H$ e $i=0,1,2 ...6$
4) provare che $ H~= G/N $ con $G/N spazio quoziente$
5) provare che G non è isomorfo al gruppo diedrale $D_21$
Ho difficoltà a svolgere questo esercizio.
Ho risolto il primo quesito e dimostrato che non è abeliano e trovato il centro.
gli es n° 2,3,4,5 non li so risolvere.
premetto che sto iniziando a svolgere questa tipologia di esercizi da poco.
Grazie.
definiamo in G la seguente operazione $(a,b)(c,d)=(c+ad, bd)$
1) Verificare che G è un gruppo non abeliano e determinarne il centro.
2) trovare un sottogruppo H e un sottogruppo normale N di G, entrambi non banali, tale che $H nn N = {e_G} $ e $G=HN$
Sia $K= ZZ_7 $
3) provare che N è ciclico, H è abeliano e che fissato un generatore n di N, ogni elemento di G si scrive in modo unico come $g=hn^i$ con $h in H$ e $i=0,1,2 ...6$
4) provare che $ H~= G/N $ con $G/N spazio quoziente$
5) provare che G non è isomorfo al gruppo diedrale $D_21$
Ho difficoltà a svolgere questo esercizio.
Ho risolto il primo quesito e dimostrato che non è abeliano e trovato il centro.
gli es n° 2,3,4,5 non li so risolvere.
premetto che sto iniziando a svolgere questa tipologia di esercizi da poco.
Grazie.