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Algebra, Gruppi

MessaggioInviato: 01/02/2019, 19:19
da Smon97
sia K un campo con almeno 3 elementi e $G=K xx K^°$ con $K^° =k-{0}$
definiamo in G la seguente operazione $(a,b)(c,d)=(c+ad, bd)$

1) Verificare che G è un gruppo non abeliano e determinarne il centro.
2) trovare un sottogruppo H e un sottogruppo normale N di G, entrambi non banali, tale che $H nn N = {e_G} $ e $G=HN$

Sia $K= ZZ_7 $

3) provare che N è ciclico, H è abeliano e che fissato un generatore n di N, ogni elemento di G si scrive in modo unico come $g=hn^i$ con $h in H$ e $i=0,1,2 ...6$
4) provare che $ H~= G/N $ con $G/N spazio quoziente$
5) provare che G non è isomorfo al gruppo diedrale $D_21$

Ho difficoltà a svolgere questo esercizio.
Ho risolto il primo quesito e dimostrato che non è abeliano e trovato il centro.
gli es n° 2,3,4,5 non li so risolvere.
premetto che sto iniziando a svolgere questa tipologia di esercizi da poco.
Grazie.

Re: Algebra, Gruppi

MessaggioInviato: 01/02/2019, 20:53
da vict85
Riguardo al secondo esercizio, devo dire che basta guardare come è fatto il prodotto. Non penso esista un modo generale per risolvere questo tipo di esercizi, si deve andare un po' ad intuito. Infatti si può notare che \(N = \{0\}\times K^{\ast} \cong K^{\ast}\). Infatti \(r\mapsto (0, r)\) è un omomorfismo di gruppi iniettivo. Similmente \(H = K\times {1} \cong K^{\mathrm{add}}\) dove con \(K^{\mathrm{add}}\) intendo il gruppo additivo di \(K\). A questo punto \(\displaystyle (ab^{-1},1)(0,b) = (ab^{-1}b,b) = (a,b) \in HN \).

Suppongo che non dovresti aver problemi a fare il 3...