Esercizii su relazioni

[peppemat]

Salve ragazzi ho un problemino con degli esercizi sulle relazioni qualcuno può gentilmente farmi capire come si trova la simmetria/antisimmetria, transitività, e classe di equivalenza di di l'esercizio è questo:

Si consideri su $ZZ$ la seguente relazione:

$ R = { (a,b) in ZZ xx ZZ: EEh in ZZ text( t.c. )9a + 5b = 14h} $


Stabilire se $R$ definisce una relazione d'ordine o di equivalenza su $ZZ$. Inoltre,
se tale relazione è di equivalenza, descrivere la classe di equivalenza di $0$.

please aiutooooo

[gugo82]

Innanzitutto, devi cominciare a immaginare quali proprietà delle relazioni interne a $ZZ$ ti sembrano soddisfatte.
Ad esempio, la proprietà riflessiva ti sembra soddisfatta? Perché?
E quella simmetrica? Perché?
Comincia da qui, poi passiamo avanti.


P.S.: Editando il messaggio ho pensato che la proprietà da te scritta, cioè $9a + 5a =14h$ contenesse un errore di battitura e l’ho modificata in $9a + 5b = 14h$. Vedi se va bene.

[peppemat]

Innanzitutto grazie sia per la risposta che per la correzione avevo sbagliato a scrivere,
io l'esercizio l'ho svolto così:
Propietà riflessiva:
$ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $
Propietò simmetrica
$ AA a,b in ZZ 14h=9a+5b $
propieà transitiva e classe di equivalenza non saprei proprio

Per favore aiutatemi poiché non ho materiale su questo tipo di esercizi
e sto cercando di farli tramite la teoria ma non sò se sto facendo bene

Innanzitutto, devi cominciare a immaginare quali proprietà delle relazioni interne a $ZZ$ ti sembrano soddisfatte.
Ad esempio, la proprietà riflessiva ti sembra soddisfatta? Perché?
E quella simmetrica? Perché?
Comincia da qui, poi passiamo avanti.


P.S.: Editando il messaggio ho pensato che la proprietà da te scritta, cioè $9a + 5a =14h$ contenesse un errore di battitura e l’ho modificata in $ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $ . Vedi se va bene.

[gugo82]

Proprietà riflessiva:
$ AA a in ZZ 9a + 5a = 14h=>14a=14h $

Da definizione, per verificare che la $R$ sia riflessiva in $ZZ$ dobbiamo mostrare che ogni $a in ZZ$ risulta $aRa$, ossia che $a$ è in relazione con se stesso.
Fissiamo un $a in ZZ$. Per com’è definita $R$, per dimostrare che $aRa$ dobbiamo provare che esiste un numero $h in ZZ$ tale che $9a+5a = 14h$.
Ora, dato che $9a + 5a = 14 a$, possiamo prendere $h=a$ e siamo a posto.
Visto che questo discorso può essere ripetuto per ogni $a in ZZ$, è chiaro che $R$ è riflessiva.

Proprietà simmetrica
$ AA a,b in ZZ 14h=9a+5b $

Qui proprio non ci sei. Stai confondendo la proprietà simmetrica di $R$ con quella dell’uguaglianza.

Da definizione, per verificare che la $R$ sia simmetrica in $ZZ$ dobbiamo mostrare che ogni $a, b in ZZ$ risulta $a R b => b R a$, ossia che se $a$ è in relazione con $b$ allora anche $b$ è in relazione con $a$.
Fissiamo un $a, b in ZZ$ in modo che $a R b$; per come è definita $R$, ciò significa che esiste un $h in ZZ$ tale che $9a + 5b = 14h$. Dobbiamo vedere se è possibile, con queste ipotesi, provare che $b R a$, ossia che esiste un $k in ZZ$ (potenzialmente diverso da $h$) tale che $9b + 5a = 14k$.
Proviamo a manipolare algebricamente $9b+5a$:
\[
9 b + 5 a = 5b + 4b + 5a + 4a - 4a = 9a + 5b + 4(b-a) = 14 h +4(b-a)
\]
in cui abbiamo usato l’ipotesi $9a+5b=14h$ ed un po’ di algebra elementare; affinché $bRa$ l’ultimo membro della precedente, cioè $14h + 4(b-a)$, dovrebbe essere un multiplo di $14$… Ma ciò non sembra in generale vero (ad esempio, lo è sotto l’ulteriore ipotesi che $b-a$ sia multiplo di $7$, ma questa ipotesi non è tra quelle di partenza del ragionamento!).
Quindi ci facciamo l’idea che, in generale, l’implicazione $aRb => bRa$ non sia sempre vera.
Per provare questo fatto, basta produrre un controesempio, i.e. trovare due numeri $a,b in ZZ$ tali che $aRb$ e che non si abbia $bRa$.
Chiaramente non vanno bene né $a=1$ e $b=1$, né $a=-2$ e $b=-2$, né in generale tutte le coppie fatte da elementi uguali.
Proviamo con $a=-1$ e $b=3$: abbiamo $9a+5b = -9 + 15 = 14 = 14*1=14h$, dunque $-1R3$; tuttavia $9b+5a=27-5=22 != 14 h$ (perché $22$ non è multiplo di $14$!), quindi \( 3 \not R -1\).
Possiamo lecitamente affermare che $R$ non è simmetrica.

Proprietà transitiva e classe di equivalenza non saprei proprio

Visto che $R$ non è simmetrica, essa non è di equivalenza e perciò il secondo problema non si pone.

Rimane da verificare se $R$ è transitiva, ossia che $aRb ^^ bRc => aRc$, cioè che se esistono $h,k in ZZ$ tali che $9a+5b = 14 h$ e $9b + 5c = 14k$, allora esiste $l in ZZ$ tale che $9a + 5c = 14l$.
Prova e vedi cosa riesci a fare.

[peppemat]

grazie per la risposta ora mi è tutto un infinito più chiaro, possiamo affermare allora che sia una relazione d'ordine e non di equivalenza giusto?

Posso chiederti un'altro favore se non è troppo ho un'altro esercizio dove sono riuscito (a meno credo) di dimostrare la relazione di equivalenza ma non le sue classi di equivalenza potresti controllare se ho fatto bene e nel caso spiegarmi come riuscire a determinare le relative classi.

L'esercizio è questo:
Si consideri su $ NN x NN $ la seguente relazione:
$ AA (a,b),(c,d) in NNxNN (a,b)R(c,d) hArr ab=cd $
Verifcare che $ R $ è una relazione di equivalenza su $ NN x NN $. Inoltre, determinare
le classi di equivalenza di (0; 0) e (8; 1).

allora io ho svolto l'esercizio così
-Riflessiva: sia $ a,b in NN $ (a,b)R(a,b) $ rArr $ ab=ba
-Simmetria: siano $ (a,b),(c,d) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ cioè ab=cd dunque $ cd=ab => (c,d)R(a,b) $
-transitiva: siano $ (a,b) (c,d) (e,f) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ e $ (c,d)R(e,f) $ cioe ab=cd e cd=ef $ => $ ab=cd=ef quindi ab=ef quindi $ (a,b)R(e,f) $

Non saprei se ho fatto bene però su questo esercizio sono molto speranzoso

grazie mille gugo82 sei il mio salvatore

[gugo82]

grazie per la risposta ora mi è tutto un infinito più chiaro, possiamo affermare allora che sia una relazione d'ordine e non di equivalenza giusto?

Ma anche no, se non verifichi la transitività non puoi dire nulla.

L’hai verificata?
Posta i conti, che controlliamo.

Posso chiederti un'altro favore se non è troppo ho un'altro esercizio dove sono riuscito (a meno credo) di dimostrare la relazione di equivalenza ma non le sue classi di equivalenza potresti controllare se ho fatto bene e nel caso spiegarmi come riuscire a determinare le relative classi.

L'esercizio è questo:
Si consideri su $ NN x NN $ la seguente relazione:
$ AA (a,b),(c,d) in NNxNN (a,b)R(c,d) hArr ab=cd $
Verifcare che $ R $ è una relazione di equivalenza su $ NN x NN $. Inoltre, determinare
le classi di equivalenza di (0; 0) e (8; 1).

allora io ho svolto l'esercizio così
-Riflessiva: sia $ a,b in NN $ (a,b)R(a,b) $ rArr $ ab=ba
-Simmetria: siano $ (a,b),(c,d) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ cioè ab=cd dunque $ cd=ab => (c,d)R(a,b) $
-transitiva: siano $ (a,b) (c,d) (e,f) in NN $ tali che $ (a,b)R(c,d) $ e $ (c,d)R(e,f) $ cioe ab=cd e cd=ef $ => $ ab=cd=ef quindi ab=ef quindi $ (a,b)R(e,f) $

Non saprei se ho fatto bene però su questo esercizio sono molto speranzoso

Potresti scrivere meglio, ma sì, è corretto.

Per quanto riguarda le classi di equivalenza, devi stabilire quali sono le coppie $(c,d)$ che stanno in relazione con $(0,0)$ e quali quelle che stanno in relazione con $(8,1)$.
Vista la definizione di $R$, devi chiederti quali sono i numeri $c,d in NN$ tali che $cd=0$?
E quali quelli che $cd =8$?

La risposta è immediata, no?

grazie mille gugo82 sei il mio salvatore

Al massimo sono il tuo gugo82, visto che non mi chiamo Salvatore...

[peppemat]

Rimane da verificare se R è transitiva, ossia che aRb∧bRc⇒aRc, cioè che se esistono h,k∈Z tali che 9a+5b=14h e 9b+5c=14k, allora esiste l∈Z tale che 9a+5c=14l.

per quanto riguarda la transitività io ho fatto così
$ 9a+5b=14h => 5b=14h-9a $
$ 9b+5c=14k $ questa può essere riscritta come $ 5b+4b+5c=14k =>5b=14k-4b+5c$
quindi $ 5b=14k-4b+5c=14h-9a =>
9a+5c=14h-14k+4b=>9a+5c=14(h-k)+4b
$

quindi abbiamo la transitività solo quando b è un multiplo di 14 giusto?

[gugo82]

No.

Da $aRb ^^ bRc$ ricavi:
\[
\left. \begin{split} 9a+5b
&= 14h \\ 9b + 5c &= 14k\end{split} \right\} \quad \Rightarrow \quad 9a + 14 b + 5c = 14(h+k) \quad \Rightarrow \quad 9a + 5c =14\underbrace{(h+k-b)}_{=l \in \mathbb{Z}}
\]
quindi $aRc$. La $R$, dunque, è transitiva.

Se fosse anche antisimmetrica sarebbe una relazione d'ordine... Vuoi verificare?

[peppemat]

Si si guggo82

Chiaramente non vanno bene né a=1 e b=1, né a=−2 e b=−2, né in generale tutte le coppie fatte da elementi uguali.

poiche la relazione anti simmetrica dice che se aRb e bRa abbiamo a=b in questo caso dall'esempio che abbiamo dato non deduciamo già che è antisimmetrica quindi una relazione d'ordine?

[gugo82]

Da un esempio valido non puoi dedurre nulla, al massimo puoi trarre un indizio che le cose possano funzionare.
Ma che le cose funzionano lo devi dimostrare.
E per dimostrare devi fare i conti.


P.S.: Che studi?
Questi sono errori logici che commettono i miei studenti del biennio al liceo...