da vict85 » 08/02/2019, 16:54
Quali sono le definizioni? Rivediamole insieme:
Una relazione su un insieme \(\displaystyle X \) è un sottoinsieme di \(\displaystyle X\times X \). Dato \(\displaystyle R\subseteq X\times X \), è comune scrivere \(\displaystyle aRb \) al posto di \(\displaystyle (a,b)\in R \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è riflessiva se \(\displaystyle \forall a\in X,\;aRa \) ovvero se la "diagonale" di \(\displaystyle X\times X \) è contenuta in \(\displaystyle R \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è simmetrica se \(\displaystyle \forall a,b \in X,\;aRb \Leftrightarrow bRa \) ovvero se la relazione è simmetrica rispetto alla "diagonale" di \(\displaystyle X\times X \).
Una relazione \(\displaystyle R \) sull'insieme \(\displaystyle X \) è transitiva se \(\displaystyle \forall a,b,c \in X,\;aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc \). Questo aspetto è più difficile da vedere geometricamente.
Una relazione è di equivalenza se è tutte queste ultime cose.
La tua relazione è data da \(\displaystyle R = \{ (a,b)\in \mathbb{Z} : \exists h\in \mathbb{Z},\;9a + 5b = 14h \} \).
Per capire con cosa stai lavorando, nota che puoi riscrivere \(\displaystyle R \) come \(\displaystyle R = \{ (a,b)\in \mathbb{Z} : 9a \equiv -5b \!\!\!\!\pmod{14} \} \). Siccome \(\displaystyle 9 \equiv -5 \!\!\!\!\pmod{14} \), \(\displaystyle R \) non è altro che la relazione di congruenza modulo \(\displaystyle 14 \). Ovviamente non penso che il professore apprezzerebbe questo genere di risoluzione.
Ti faccio la riflessività così da capire il principio generale. Dato \(\displaystyle a\in\mathbb{Z} \) si ha che \(\displaystyle 9a + 5a = 14a \). Pertanto la relazione è soddisfatta per \(\displaystyle h = a \).
Per la simmetria devi dimostrazione che se \(\displaystyle \exists h \) tale che \(\displaystyle 9a + 5b = 14h \) allora \(\displaystyle \exists k \) tale che \(\displaystyle 5a + 9b = 14k \). Sei in grado di trovare \(\displaystyle k \)?
