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[logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 03:09
da AlexanderSC
Salve a tutti, avrei, come da titolo, un dubbio sorto da un esercizio lasciatoci dal nostro professore, il testo recita:

Sia A l’insieme {∅}. Quale delle seguenti proprietà è soddisfatta per ogni relazione R ⊆ A × A? , e vengono poi elencate tutte le proprietà (riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva).

La prima cosa che ho notato è che \( \wp( \emptyset ) \) = \( A \) = { \( \emptyset \) }
L'unica relazione binaria possibile su \( \wp( \emptyset ) \) è \( R = { (\emptyset ,\emptyset ) } \) ( non capisco come rappresentare con LaTeX gli insiemi con le graffe), giusto?

Da quel ragionamento seguono le mie seguenti affermazioni:

1)R gode della proprietà riflessiva perché ogni elemento di \( \wp( \emptyset ) \) è in relazione con sé stesso;

2)Non è antiriflessiva, proprio perché almeno un elemento è in relazione con sé stesso;

3)Gode della proprietà simmetrica perché ogni elemento aRb implica che bRa;

4)Gode della proprietà antisimmetrica perché ogni aRb e bRa implica che a = b;

5)Gode della proprietà transitiva ( e qui alcune incertezze ), perchè non essendoci abbastanza elementi da dimostrarne il contrario, essa è verificata;

Confrontandola con le soluzioni, ho a mio malgrado trovato che R non gode della proprietà riflessiva(le altre risposte sono corrette).
Qualcuno sà spiegarmi il perché?

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 04:11
da Martino
La relazione vuota è riflessiva?

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 12:04
da gugo82
Aspetta... Mi sa che c’è un equivoco di fondo: $emptyset$ è un insieme diverso da $\{ emptyset \}$.

Se $A=\{ emptyset \}$ allora $mathcal(P)(A) = \{ emptyset, A\} != A$: infatti, $A$ ha un elemento (l’insieme vuoto) dunque $mathcal(P)(A)$ ha due elementi.

Cosa diversa se $A = emptyset$, poiché in tal caso $mathcal(P)(A) = \{ emptyset \}$ (difatti, $A$ ha zero elementi, mentre $mathcal(P)(A)$ ne ha uno solo che è proprio $A=emptyset$).

Insomma, fai attenzione con l’insieme vuoto. :wink:

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 14:01
da AlexanderSC
gugo82 ha scritto:Aspetta... Mi sa che c’è un equivoco di fondo: $emptyset$ è un insieme diverso da $\{ emptyset \}$.

Se $A=\{ emptyset \}$ allora $mathcal(P)(A) = \{ emptyset, A\} != A$: infatti, $A$ ha un elemento (l’insieme vuoto) dunque $mathcal(P)(A)$ ha due elementi.

Cosa diversa se $A = emptyset$, poiché in tal caso $mathcal(P)(A) = \{ emptyset \}$ (difatti, $A$ ha zero elementi, mentre $mathcal(P)(A)$ ne ha uno solo che è proprio $A=emptyset$).

Insomma, fai attenzione con l’insieme vuoto. :wink:


Non ho mai detto che l'insieme vuoto fosse uguale all'insieme delle parti dell'insieme vuoto . . .

Sul testo dell'esercizio il prodotto cartesiano è \( A X A \) non \( \wp (A) X \wp (A) \) .
Io quello che intendevo dire era che la A che mi è stata data è equivalente a \( \wp (\emptyset ) \) , tutto qua. :|

Martino ha scritto:La relazione vuota è riflessiva?

Non avevo pensato a quella relazione hai ragione!
Grazie mille! :D

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 14:35
da AlexanderSC
Ho ancora un paio di dubbi:
Il modo in cui ho giustificato l'esistenza della transitività è corretta?
Le proprietà di un insieme vuoto sono quindi la simmetria, l'antisimmetria e la transitività?
Mi sono bloccato su un altro esercizio, posto qui il mio problema e i miei ragionamenti o creo un "nuovo argomento" ?

p.s.
Il problema ha sempre a che fare con l'insieme vuoto. ( Benedetto insieme vuoto! )

ecco uno sneak peek: " Sia A l’insieme {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}},…} e sia R ⊆ ℘(A) × ℘(A) la relazione:

R = {(a, B) : a ∈ B}.
"

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 15:08
da Martino
Crea un nuovo argomento

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 15:15
da AlexanderSC
Ok :smt023
Risposte alle altre domande ? :|

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 15:37
da Martino
Tu hai un insieme $A$ con un unico elemento. Non importa se questo elemento lo chiami $emptyset$ oppure Gianni, è sempre un elemento. Per chiarirci le idee invece che $emptyset$ chiamiamolo $x$. Quindi $A={x}$.

Quali sono le relazioni su $A$? Ovvero quali sono i sottoinsiemi di $A xx A$? Abbiamo $A xx A = {(x,x)}$ quindi i sottoinsiemi di $A xx A$ sono

$emptyset$
${(x,x)}$

Sono due sottoinsiemi. Cioè esistono esattamente due relazioni su $A$. Una è la relazione vuota, l'altra è la relazione per cui $x$ è in relazione con $x$ (e questo determina la relazione perché non ci sono altri elementi oltre a $x$).

Prendiamo in esame la prima relazione, $emptyset$. Questa è una relazione simmetrica, antisimmetrica, transitiva, questo perché queste tre proprietà sono espresse tramite implicazioni logiche la cui prmessa è l'appartenenza alla relazione di una data coppia. Per esempio

Proprietà simmetrica: se $(a,b) in R$ allora $(b,a) in R$.

Siccome nel nostro caso la relazione è vuota questa implicazione ha premessa falsa quindi è vera.

D'altro canto $emptyset$ non è una relazione riflessiva perché $(x,x)$ non appartiene a $emptyset$. Noterai che la proprietà riflessiva è l'unica proprietà, tra quelle da te elencate, che non è espressa tramite un'implicazione logica ma tramite una esplicita richiesta di appartenenza di qualcosa alla relazione.

Passiamo alla relazione ${(x,x)}$. Questa è la relazione secondo cui $x$ (il nostro elemento fissato) è in relazione con $x$. In particolare è ovviamente riflessiva (perché $(x,x)$ appartiene alla relazione). Ora siccome abbiamo un unico elemento coinvolto, le proprietà simmetrica, antisimmetrica, transitiva degenerano a un unico caso che quindi è tautologico:

Simmetrica: se $(x,x) in R$ allora $(x,x) in R$.
Antisimmetrica: se $(x,x) in R$ e $(x,x) in R$ allora $x=x$.
Transitiva: se $(x,x) in R$ e $(x,x) in R$ allora $(x,x) in R$.

Tutte e tre vere, evidentemente.

In questa fase è molto più importante che tu capisca gli argomenti piuttosto che preoccuparti di esporli in modo ottimale.

In matematica ci sono cose che sono ovvie, e ci sono cose che non sono ovvie. Quello che stai facendo è alzare gradatamente l'asticella di cosa per te è ovvio.

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 17:50
da AlexanderSC
Innanzitutto grazie mille per la spiegazione approfondita dietro i motivi logici delle risposte, era quello che cercavo!

Sono d'accordo riguardo all' importanza di capire bene gli argomenti, ciò infatti mi dà più sicurezza in quello che dico.

Fino ad ora in testa avevo solo una vaga idea di cosa ci fosse dietro l'associazione di una proprietà ad una relazione su un insieme generico A.

Non capisco se "alzare gradatamente l'asticella di cosa per me è ovvio" sia un rimprovero, d'altro canto non sono sicuro di aver afferrato del tutto il significato dietro quella frase, comunque volevo ringraziarti di nuovo per la tua pazienza, la tua disponibilità e per avermi indirettamente risposto ad un altro argomento che ho postato dopo questo!

Saluti. :)

Re: [logica di base] Dubbi su \( \wp( \emptyset ) \)

MessaggioInviato: 11/02/2019, 17:55
da Martino
Non è un rimprovero! Prego