problema di Basilea 1

volevo sapere se nel problema di Basilea era possibile sostituire alla variabile n la variabile complessa z e calcolare

l'integrale che deriva dalla serie nel campo complesso. Poi annullando la parte immaginaria e sostituendo a quella reale n dovrei ritrovare lo stesso risultato di Eulero e cioè (pigreco)^2/6. non ho fatto ancora alcun conto(dovrei rivedere buona parte dell'analisi complessa!) ,ma potrebbe essere utile come idea per calcolare qualunque valore della zeta di Riemann?

Non è chiaro se vorresti calcolare
\[\int_0^\infty \frac{1}{z^2}dz\]
(dove con ciò intendo "su una parametrizzazione opportuna di un cammino $\gamma$ di immagine la semiretta $[0,\infty)$", oppure
\[
\int_0^\infty \frac{1}{x^2}dx
\] (cioè l'integrale di prima, dove però la funzione ora ha valori reali). In che modo, poi, questo passaggio dovrebbe aiutare a passare dal calcolare \(\sum \frac{1}{n^2}\) al calcolare \(\sum \frac{1}{n^s}\)? Sei familiare col fatto che ci sono diverse rappresentazioni per la funzione zeta, a seconda del dominio e della proprietà specifica che ti interessa studiare?

intendo calcolare l'integrale tra 1 e infinito di 1/z^n dz su un opportuno cammino di immagine la semiretta [1,infinito) e ritornare poi ai naturali annullando la parte immaginaria e sostituendo a x n

Non è chiaro quel che vuoi fare, mi dispiace.