da AlexanderSC » 15/02/2019, 20:05
Ho appena capito che non esiste una relazione del genere.
Userò l'esempio del perché non tutti gli insiemi infiniti sono equipotenti fra loro:
Se prendo tutti i numeri di N che vanno da 0 all'infinito, e cerco di associarli senza alcun criterio particolare a tutti i sottoinsiemi finiti di N, mi ritroverò con una tabella del genere:
N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | . . . NUMERI ALL' INTERNO DEL SOTTOINSIEME FINITO
-------------------------------------------------------
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . . = (0, {0})
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . . = (1, {1, 2, 3})
2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | . . . = (2, {sottoinsieme dei numeri pari})
3 | . . .
La colonna di sinistra sono gli elementi di N.
Gli 0 e gli 1 all'interno della tabella, servono ad indicare quali numeri si trovano all'interno dell'insieme corrispondente al numero in tabella. ( nel primo caso la relazione farà corrispondere a 0 l'insieme che contiene lo 0)
Se prendessimo il sottoinsieme che contiene tutti i numeri corrispondenti alla diagonale della tabella ( partendo da sopra-sinistra) che al momento corrisponde a {1, 1, 1 . . .}:
N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | . . . NUMERI ALL' INTERNO DEL SOTTOINSIEME FINITO
-------------------------------------------------------
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . . = (0, {0})
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . . = (1, {1, 2, 3})
2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | . . . = (2, {sottoinsieme dei numeri pari})
3 | . . .
E ne prendessimo il complemento, cioè { 0, 0, 0 . . .}.
Quando lo andremo ad inserire nella rappresentazione tabellare della nostra Relazione, ci accorgeremo che che tale lista di 0 e 1, prima o poi incontrerà la diagonale vera e proprio, e nel punto in cui concida, non saremo in grado di stabilire quale numero andare a mettere:
N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | . . . NUMERI ALL' INTERNO DEL SOTTOINSIEME FINITO
-------------------------------------------------------
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . . = (0, {0})
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . . = (1, {1, 2, 3})
2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | . . . = (2, {sottoinsieme dei numeri pari})
3 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | . . .
4 | 0 | 0 | 0 | 1 | ? | | | | | | . . .
Quindi la funzione non sarà iniettiva, visto che non sarà in grado di legare tutti gli N a distinti elementi.Giusto?