[Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

[AlexanderSC]

Invece si che esiste, infatti si può dimostrare che ogni insieme infinito è in biezione con l'insieme dei suoi sottoinsiemi finiti, anche se, che io sappia, non se ne conoscono di esplicite.

Un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei suoi sottoinsiemi (quindi che non include solo sottoinsiemi finiti)?
O ciò è valido solo per la funzione che và da un insieme infinito all'insieme dei suoi sottoinsiemi finiti?

[fmnq]

Un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei suoi sottoinsiemi (quindi che non include solo sottoinsiemi finiti)?

Non si può, è un teorema di Cantor: non esiste nessuna funzione suriettiva da $X$ a $2^X$; se $X$ è finito, ovvio. Se $X$ è infinito, supponi esista (diciamo che si chiama $g$) e prendi il sottoinsieme $U = \{x\in X | x \notin gx\}$. Non può esistere nessun $y\in X$ tale che $gy=U$.

[AlexanderSC]

Non capisco perché hai preso il sottoinsieme U e neanche per cosa stia "gx"
Poi chi è D? Il dominio?

[fmnq]

Ho preso $U$ per far funzionare la dimostrazione; $D$ è $U$, ho corretto. $gx$ è l'immagine di $x\in X$ mediante la funzione $g : X\to 2^X$.

[AlexanderSC]

Non si può, è un teorema di Cantor: non esiste nessuna funzione suriettiva da $X$ a $2^X$; se $X$ è finito, ovvio. Se $X$ è infinito, supponi esista (diciamo che si chiama $g$) e prendi il sottoinsieme $U = \{x\in X | x \notin gx\}$. Non può esistere nessun $y\in X$ tale che $gy=U$.

Ok, allora questo insieme U, poichè non è formato da nessun elemento(visto che non troviamo un singolo elemento che soddisfi la sua proprietà), non sarebbe un insieme vuoto?
Poi l'esempio del teorema di Cantor usa una funzione biiettiva, non surriettiva, perchè stiamo usando quest'ultima?

[fmnq]

$U$ non è vuoto; contiene tutti gli elementi di $X$ tali che $x$ non è un elemento di $g(x)$. Stiamo dimostrando che non esiste una funzione suriettiva da $X$ a $2^X$, perché allora non può esisterne nemmeno una biiettiva.

(Le mie risposte sono volutamente terse; è parte del mio invito a riflettere da solo su questi argomenti elementari).

[AlexanderSC]

Uhm, credo di aver capito.
Se gli assegniamo una y a questo sottoinsieme U ( $ f(y) = U $ ) , vorrà dire che per definizione $ yin U $ , ma se entra a far parte degli elementi di U, ciò vuol dire che ora $ yin gy $ , e ciò andrebbe contro la definizione della stessa U.

Quindi ci ritroviamo in una situazione dove non possiamo assegnare un elemento a questo sottoinsieme, e quindi l'ipotetica funzione g non potrà essere suriettiva, anche se abbiamo ipotizzato che lo fosse, dimostrando che una funzione biiettiva ( cioè sia iniettiva che SURRIETTIVA) fra un insieme e l'insieme dei suoi sottoinsiemi non esiste.
Perfetto, grazie

La cosa strana è che prima mi hai detto che esisteva una funzione biiettiva fra un insieme e l'insieme dei suoi sottoinsiemi, why?

[AlexanderSC]

Invece si che esiste, infatti si può dimostrare che ogni insieme infinito è in biezione con l'insieme dei suoi sottoinsiemi finiti, anche se, che io sappia, non se ne conoscono di esplicite.

Mi riferisco a questo.

[fmnq]

Sottoinsiemi finiti.

[AlexanderSC]

Sì, ma lo stesso esempio non può essere applicato anche qua?
L'insieme dei sottoinsiemi finiti di \( N \) non avrà comunque infiniti elementi?
Quindi non potrebbe comunque esistere un sottoinsieme $ U = { nin N : n notin gn} $ che viene costruito a mano a mano che associamo elementi di N agli elementi dell'insieme di sottoinsiemi finiti di N?