Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda AlexanderSC » 17/02/2019, 14:22

:?: :(
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda fmnq » 17/02/2019, 16:39

AlexanderSC ha scritto:L'insieme dei sottoinsiemi finiti di \( N \) non avrà comunque infiniti elementi?

Sì, certo, ne avrà infiniti, ma quanti? Ci sono tanti infiniti, e certi infiniti sono più infiniti di altri, come stiamo discettando da parecchio tempo. Non si capisce la domanda che hai in testa.
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda AlexanderSC » 17/02/2019, 17:20

Voglio capire perché può esistere una corrispondenza biunivoca tra l'insieme \( \aleph \) e l'insieme dei suoi sottoinsiemi finiti (che per semplicità chiamerò \( F \) ), e non fra \( \aleph \) e \( \wp (\aleph ) \) .

Applico il teorema di Cantor per dimostrare che non esiste una \( f:\aleph \rightarrow F \) \( biiettiva \) :
Per assurdo ipotizzo che esista una \( f \) \( suriettiva \) chiamata \( g \) che da $ aleph $ va in $ F $ .
Fra tutti i sottoinsiemi finiti, mi prendo quel sottoinsieme $ U={x in aleph : x notin g(x)} $ .
Qualsiasi elemento di $ aleph $ io prenda, esso non potrà essere associato al sottoinsieme $ U $ , perché risulterebbe in una contraddizione infinita, così dimostrando che l'insieme $ aleph $ non si trova in corrispondenza biunivoca con $ F $ .
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda fmnq » 17/02/2019, 18:08

E' spiegato in maniera terribile, e con una notazione che grida vendetta al cielo, ma spero tu abbia capito cosa intendevo.
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda AlexanderSC » 17/02/2019, 19:15

fmnq ha scritto: ma spero tu abbia capito cosa intendevo.


Non capisco a cosa ti riferisci, fino ad ora le uniche cose che ho capito sono che :

-Esiste una funzione iniettiva che va da l'insieme dei numeri Naturali $ aleph $ , all' insieme dei suoi sottoinsiemi finiti $ F $ .( $ f:aleph rarr F $ è biiettiva)

-Non esiste invece una funzione iniettiva che va da l'insieme dei numeri Naturali $ aleph $ , all' insieme delle parti dei numeri Naturali( \( f:\aleph \rightarrow \wp (\aleph ) \) è biiettiva)

Della seconda affermazione me ne capacito perché mi hai dimostrato con Cantor che è così.

Della prima affermazione no, perché non riesco a trovare una differenza fra questo caso ed il secondo, anche avendo come spunto Cantor, che ho cercato di replicare applicandolo a questo caso.
Questa applicazione l'ho fatta solo per darti una dimostrazione del mio ragionamento e magari darti un indizio su cosa non sto capendo, affinché tu possa aiutarmi ad arrivarci.
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda AlexanderSC » 17/02/2019, 19:50

Per caso la risposta risiede nel fatto che il sottoinsieme U={x∈ℵ:x∉g(x)} non è un sottoinsieme finito ?
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda fmnq » 17/02/2019, 20:00

AlexanderSC ha scritto:Per caso la risposta risiede nel fatto che il sottoinsieme U={x∈ℵ:x∉g(x)} non è un sottoinsieme finito ?

Tralascio di commentare il resto, che è un pandemonio. Sì, la risposta è sì.
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda AlexanderSC » 17/02/2019, 20:03

Ok, mi serviva questo.

Visto che non possiamo dimostrare il contrario, affermiamo che esiste una funzione biiettiva f:ℵ→F ?
Mi aiuti a definire una funzione del genere?
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda fmnq » 17/02/2019, 20:11

Non finché ti ostini a indicare con $\aleph$ (che non significa niente, tutt'al più potrebbe indicare la classe propria dei -di certi?- cardinali), quello che andrebbe denotato con $NN$.

Al netto di questo, sia $X$ un insieme infinito, vuoi dimostrare che l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $X$ è in biiezione con $X$; per CSB ti basta trovare una funzione iniettiva da $P_0X$ a (un insieme con la stessa cardinalità di) $X$; quest'ultimo insieme è \(X' = \coprod_{n\in\mathbb N} X^n\), per il motivo evidente che esiste una funzione iniettiva $P_0X\to X'$ che manda una $n$-upla di elementi di $X$ (cioè il sottoinsieme finito $A = \{x_1,...,x_n\}\subset X$) in $(x_1,..,x_n)\in X^n$.

Il fatto che $X'$ abbia la stessa cardinalità di $X$ segue da un facile argomento di aritmetica (hint: \(|X\times\mathbb N| = |X|\)).
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Re: [Teoria Degli Insiemi]Funzione biiettiva?

Messaggioda AlexanderSC » 17/02/2019, 23:28

fmnq ha scritto:Non finché ti ostini a indicare con $\aleph$ (che non significa niente, tutt'al più potrebbe indicare la classe propria dei -di certi?- cardinali), quello che andrebbe denotato con $NN$.


Scusa, non trovando nel programma $NN$, pensavo che $\aleph$ fosse il simbolo con cui si indicasse l'Insieme dei numeri naturali.

fmnq ha scritto:Al netto di questo, sia $X$ un insieme infinito, vuoi dimostrare che l'insieme dei sottoinsiemi finiti di $X$ è in biiezione con $X$; per CSB ti basta trovare una funzione iniettiva da $P_0X$ a (un insieme con la stessa cardinalità di) $X$;


Uhm, posso riscrivere il tuo messaggio in questo modo per confondermi di meno?

per CSB ti basta trovare una funzione iniettiva da $P_0X$ a \( X' \) (cioè un insieme con la stessa cardinalità di $X$)

o "un insieme con la stessa cardinalità di \( X \)" si riferisce a $P_0X$ ?

fmnq ha scritto:quest'ultimo insieme è \(X' = \coprod_{n\in\mathbb N} X^n\)


Non capisco cosa \(\coprod_{n\in\mathbb N} X^n\) stia ad indicare ( con una veloce ricerca su google ho trovato che \( \amalg \) è un coprodotto, ma in tutte le rappresentazioni è accompagnato da una 'i=n' sotto di esso, e una 'm' sopra di esso, quindi non capisco cosa voglia dire in questo caso).

fmnq ha scritto:per il motivo evidente che esiste una funzione iniettiva $P_0X\to X'$


Non era $P_0X\to X$ ?

fmnq ha scritto:che manda una $n$-upla di elementi di $X$ (cioè il sottoinsieme finito $A = \{x_1,...,x_n\}\subset X$) in $(x_1,..,x_n)\in X^n$.

Il fatto che $X'$ abbia la stessa cardinalità di $X$ segue da un facile argomento di aritmetica (hint: \(|X\times\mathbb N| = |X|\)).


Penso che per capire questa parte, dovrò prima capire l'inizio.
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