Radici $n$-sime dell'unità

Messaggioda Cantor99 » 14/02/2019, 19:10

Stavo seguendo sul libro la dimostrazione del seguente fatto e ho un dubbio
Sia $K$ un campo isomorfo a $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Z}_{p}$ per qualche $p$ primo. Se $n$ è un intero non diviso da $p$ e $F$ è un campo di spezzamento di $x^{n}-1$ su $K$, allora $G_{n}(K)=\{x\in F : x^{n}=1\}$ è un sottogruppo ciclico di odine $n$ del gruppo moltiplicativo di $K\backslash\{0\}$

La dimostrazione parte col provare che nel campo di spezzamento $F$ di $x^{n}-1$ in $K$ il polinomio $x^{n}-1$ non ha radici multiple. Ne trae che $|G_{n}(K)|=n$. Ora suppone che $n=q^{\alpha}$ per qualche primo $q\ne p$ e $\alpha $ intero positivo. Vuole provare, poi, per assurdo che ogni elemento di $G_{n}(K)$ ha periodo $q^{\alpha}$.
Da qui parte il mio dubbio :-D
Sia $m$ un divisore di $n$. e $G_{q^{m}}(K)$ non è ciclico. Allora per ogni $a$ di $G_{q^{m}}(K)$ si ha $a^{q^{m-1}}=1$ sicché $G_{q^{m-1}}(K)=G_{q^{m}}(K)$. Ma ciò è assurdo poiché $|G_{q^{m-1}}(K)|=q^{m-1}$ e $|G_{q^{m}}(K)|=q^{m}$

Perché $a^{q^{m-1}}=1$?
Grazie mille in anticipo (avrei altri dubbi sul continuo, eventualmente!)
Cantor99
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Re: Radici $n$-sime dell'unità

Messaggioda Martino » 22/03/2019, 18:37

Ciao,

se fosse \( \displaystyle a^{q^{m-1}} \neq 1 \) allora l'elemento $a$ avrebbe ordine $q^m$ e quindi $G_{q^m}(K)$ sarebbe ciclico generato da $a$.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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