14/02/2019, 18:10
Sia $K$ un campo isomorfo a $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Z}_{p}$ per qualche $p$ primo. Se $n$ è un intero non diviso da $p$ e $F$ è un campo di spezzamento di $x^{n}-1$ su $K$, allora $G_{n}(K)=\{x\in F : x^{n}=1\}$ è un sottogruppo ciclico di odine $n$ del gruppo moltiplicativo di $K\backslash\{0\}$
Sia $m$ un divisore di $n$. e $G_{q^{m}}(K)$ non è ciclico. Allora per ogni $a$ di $G_{q^{m}}(K)$ si ha $a^{q^{m-1}}=1$ sicché $G_{q^{m-1}}(K)=G_{q^{m}}(K)$. Ma ciò è assurdo poiché $|G_{q^{m-1}}(K)|=q^{m-1}$ e $|G_{q^{m}}(K)|=q^{m}$
22/03/2019, 17:37
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