Radici $n$-sime dell'unità

Stavo seguendo sul libro la dimostrazione del seguente fatto e ho un dubbio

Sia $K$ un campo isomorfo a $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Z}_{p}$ per qualche $p$ primo. Se $n$ è un intero non diviso da $p$ e $F$ è un campo di spezzamento di $x^{n}-1$ su $K$, allora $G_{n}(K)=\{x\in F : x^{n}=1\}$ è un sottogruppo ciclico di odine $n$ del gruppo moltiplicativo di $K\backslash\{0\}$

La dimostrazione parte col provare che nel campo di spezzamento $F$ di $x^{n}-1$ in $K$ il polinomio $x^{n}-1$ non ha radici multiple. Ne trae che $|G_{n}(K)|=n$. Ora suppone che $n=q^{\alpha}$ per qualche primo $q\ne p$ e $\alpha $ intero positivo. Vuole provare, poi, per assurdo che ogni elemento di $G_{n}(K)$ ha periodo $q^{\alpha}$.
Da qui parte il mio dubbio

Sia $m$ un divisore di $n$. e $G_{q^{m}}(K)$ non è ciclico. Allora per ogni $a$ di $G_{q^{m}}(K)$ si ha $a^{q^{m-1}}=1$ sicché $G_{q^{m-1}}(K)=G_{q^{m}}(K)$. Ma ciò è assurdo poiché $|G_{q^{m-1}}(K)|=q^{m-1}$ e $|G_{q^{m}}(K)|=q^{m}$

Perché $a^{q^{m-1}}=1$?
Grazie mille in anticipo (avrei altri dubbi sul continuo, eventualmente!)

Ciao,

se fosse \( \displaystyle a^{q^{m-1}} \neq 1 \) allora l'elemento $a$ avrebbe ordine $q^m$ e quindi $G_{q^m}(K)$ sarebbe ciclico generato da $a$.