da gugo82 » 17/02/2019, 18:11
Guarda che il “prodotto” di due permutazioni altro non è che la funzione composta eseguendo le due permutazioni una di seguito all’altra… Il problema dunque è capire l’ordine in cui devono essere eseguite.
Se, come al solito, supponiamo che $f circ g (x) = g(f(x))$, allora va eseguita prima $f=(4\ 5\ 6\ 7)$ poi $g=(5\ 6\ 7\ 8)$.
Ora, per comporre i due cicli basta ragionare come segue.
Innanzitutto, cominciamo dal primo elemento spostato da $f$, che è $4$; esso viene mandato in $5$, cioè risulta $f(4)=5$, perché la notazione con la parentesi tonda così è definita. A questo punto calcoliamo $g(f(4))=g(5)$: $5$ è il primo elemento spostato da $g$ e viene mandato in $6$ (per il solito motivo notazionale); dunque $g(f(4))=g(5)=6$.
Posto, per semplicità, $h= f circ g$, hai:
\[
h(4) = 6\; .
\]
Poi, passiamo al secondo elemento spostato da $f$, cioè $5$: come sopra ricaviamo $f(5)=6$; par calcolare $g(f(5))=g(6)$ sfruttiamo il ciclo $g$ al solito modo ed otteniamo:
\[
h(5)=7\;.
\]
Analogamente $f(6)=7$ e $g(f(6))=g(7)=8$, $f(7)=4$ e $g(f(7))=g(4) =4$ (perché $4$ non è spostato da $g$), quindi:
\[
h(6)=8,\ h(7)=4\; .
\]
Infine, $8$ non è spostato da $f$ ma lo è da $g$, quindi $g(f(8))=g(8)=5$ e:
\[
h(8)=5\; .
\]
Quindi $f circ g =h=(4\ 6\ 8\ 5\ 7)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)