Prodotto Operativo tra applicazioni

[Pepsimurti]

Buon pomeriggio!, non sono riuscito a trovare in modo esauriente la procedura su come effettuare il prodotto operativo tra due applicazioni, nello specifico:

f:(6,9,3,7) g:(4,8,1,5)
tutto sommato dovrei comporre f e g, quindi f∘g, ma non so come procedere poichè non riesco a trovare niente a riguardo

So che non è giusto chiedere sul come procedere, ma davvero non so come muovermi,
Vi ringrazio in anticipo!

[gugo82]

Sinceramente non capisco il testo... $f$ e $g$ sono permutazioni?

Se sì, sono due cicli disgiunti, quindi la loro composizione è $(6\ 9\ 3\ 7)(4\ 8\ 1\ 5)$.

[Pepsimurti]

Sinceramente non capisco il testo... $f$ e $g$ sono permutazioni?

Se sì, sono due cicli disgiunti, quindi la loro composizione è $(6\ 9\ 3\ 7)(4\ 8\ 1\ 5)$.

Si, f ∘ g è una permutazione, chiedo scusa per non averlo specificato subito , Invece nel caso i 2 cicli fossero stati non disgiunti come avrei dovuto procedere, per esempio f: (4,5,6,7) g : ( 5,6,7,8) ?

[gugo82]

Innanzitutto, cosa intendi con $f circ g$? Quale delle due permutazioni è la componente interna della funzione composta?
Di solito, ma non sempre, si usa $f circ g(x) := g(f(x))$: è il tuo caso?
O vale il contrario?

[Pepsimurti]

Innanzitutto, cosa intendi con $f circ g$? Quale delle due permutazioni è la componente interna della funzione composta?
Di solito, ma non sempre, si usa $f circ g(x) := g(f(x))$: è il tuo caso?
O vale il contrario?

Forse mi sono espresso male, dovrei determinare il prodotto $f*g$, avrò confuso probabilmente i concetti, sul mio libro di testo non ho nulla a riguardo

[gugo82]

Guarda che il “prodotto” di due permutazioni altro non è che la funzione composta eseguendo le due permutazioni una di seguito all’altra… Il problema dunque è capire l’ordine in cui devono essere eseguite.

Se, come al solito, supponiamo che $f circ g (x) = g(f(x))$, allora va eseguita prima $f=(4\ 5\ 6\ 7)$ poi $g=(5\ 6\ 7\ 8)$.
Ora, per comporre i due cicli basta ragionare come segue.
Innanzitutto, cominciamo dal primo elemento spostato da $f$, che è $4$; esso viene mandato in $5$, cioè risulta $f(4)=5$, perché la notazione con la parentesi tonda così è definita. A questo punto calcoliamo $g(f(4))=g(5)$: $5$ è il primo elemento spostato da $g$ e viene mandato in $6$ (per il solito motivo notazionale); dunque $g(f(4))=g(5)=6$.
Posto, per semplicità, $h= f circ g$, hai:
\[
h(4) = 6\; .
\]
Poi, passiamo al secondo elemento spostato da $f$, cioè $5$: come sopra ricaviamo $f(5)=6$; par calcolare $g(f(5))=g(6)$ sfruttiamo il ciclo $g$ al solito modo ed otteniamo:
\[
h(5)=7\;.
\]
Analogamente $f(6)=7$ e $g(f(6))=g(7)=8$, $f(7)=4$ e $g(f(7))=g(4) =4$ (perché $4$ non è spostato da $g$), quindi:
\[
h(6)=8,\ h(7)=4\; .
\]
Infine, $8$ non è spostato da $f$ ma lo è da $g$, quindi $g(f(8))=g(8)=5$ e:
\[
h(8)=5\; .
\]
Quindi $f circ g =h=(4\ 6\ 8\ 5\ 7)$.

[Pepsimurti]

Guarda che il “prodotto” di due permutazioni altro non è che la funzione composta eseguendo le due permutazioni una di seguito all’altra… Il problema dunque è capire l’ordine in cui devono essere eseguite.

Se, come al solito, supponiamo che $f circ g (x) = g(f(x))$, allora va eseguita prima $f=(4\ 5\ 6\ 7)$ poi $g=(5\ 6\ 7\ 8)$.
Ora, per comporre i due cicli basta ragionare come segue.
Innanzitutto, cominciamo dal primo elemento spostato da $f$, che è $4$; esso viene mandato in $5$, cioè risulta $f(4)=5$, perché la notazione con la parentesi tonda così è definita. A questo punto calcoliamo $g(f(4))=g(5)$: $5$ è il primo elemento spostato da $g$ e viene mandato in $6$ (per il solito motivo notazionale); dunque $g(f(4))=g(5)=6$.
Posto, per semplicità, $h= f circ g$, hai:
\[
h(4) = 6\; .
\]
Poi, passiamo al secondo elemento spostato da $f$, cioè $5$: come sopra ricaviamo $f(5)=6$; par calcolare $g(f(5))=g(6)$ sfruttiamo il ciclo $g$ al solito modo ed otteniamo:
\[
h(5)=7\;.
\]
Analogamente $f(6)=7$ e $g(f(6))=g(7)=8$, $f(7)=4$ e $g(f(7))=g(4) =4$ (perché $4$ non è spostato da $g$), quindi:
\[
h(6)=8,\ h(7)=4\; .
\]
Infine, $8$ non è spostato da $f$ ma lo è da $g$, quindi $g(f(8))=g(8)=5$ e:
\[
h(8)=5\; .
\]
Quindi $f circ g =h=(4\ 6\ 8\ 5\ 7)$.

Grazie per la risposta! Credo di Aver capito il procedimento, l'unica cosa, è di $f circ g =h=(4\ 6\ 8\ 5\ 7)$ non ho capito perchè i numeri sono ordinati in questo modo, come faccio a capire come scrivere h ?