Funzione iniettiva e non?

[AlexanderSC]

Potete dirmi se il mio ragionamento è corretto?
Abbiamo la seguente funzione:
$ f:Nrarr O/ $
Il testo chiede di determinare se questa funzione è iniettiva o non (Spoilers: la risposta è che è entrambe contemporaneamente).

Siccome la funzione è una relazione R, tale che ogni elemento di N è associato ad uno e un solo elemento del secondo insieme, e se quest'ultimo non ha elementi, allora ciò implica che nessun elemento dell'insieme N ( o qualsiasi insieme non vuoto) è associato ad uno e un solo elemento!
Perciò questa f, non soddisfa la definizione di funzione, e perciò entrambe le affermazioni possiamo anche considerarle vere contemporaneamente ( essendo la premessa falsa ).

[fmnq]

Non esistono funzioni di dominio un insieme vuoto e di codominio l'insieme vuoto quindi non esiste nessuna di tali $f$. Una funzione che non esiste è iniettiva?

[AlexanderSC]

Io ho già scritto la mia opinione sulle f che non esistono, la mia conclusione l'ho già data, quindi la tua domanda risulta ridondante, mi puoi dire per piacere se il mio ragionamento è giusto o sbagliato?

[fmnq]

Se è questo ciò che intendi, la proposizione \(f : \mathbb N \to \varnothing \; \Rightarrow \; f \text{ iniettiva}\) ha antecedente falso, e quindi è vera.

[axpgn]

@fmnq
Una domanda: una relazione è un (qualunque) sottoinsieme di $RR xx RR$ (tanto per farla semplice).
Il sottoinsieme vuoto di $RR xx RR$ è una relazione? Cioè esiste una relazione "vuota"?
Mi pare che mi avessero detto di sì …

[AlexanderSC]

Se è questo ciò che intendi, la proposizione \(f : \mathbb N \to \varnothing \; \Rightarrow \; f \text{ iniettiva}\) ha antecedente falso, e quindi è vera.

Sì esatto, intendevo esattamente quello, giustifico allo stesso modo la seconda risposta.

[AlexanderSC]

@fmnq
Una domanda: una relazione è un (qualunque) sottoinsieme di $RR xx RR$ (tanto per farla semplice).
Il sottoinsieme vuoto di $RR xx RR$ è una relazione? Cioè esiste una relazione "vuota"?
Mi pare che mi avessero detto di sì …

Se vuoi ti rispondo io:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sì.
Come ogni insieme delle parti di un insieme che si rispetti ( in questo caso dell'insieme $RR xx RR$), l'insieme delle parti conterrà l'insieme vuoto, che potrà essere anche considerato come una relazione R, questa relazione è detta Relazione Vuota, proprio perché la sua proprietà è quella di non associare elementi fra loro, di conseguenza non avrà elementi ( cioè coppie ordinate) al suo interno

[axpgn]

MI va benissimo lo stesso (l'ho chiesto a @fmnq solo perché ha accennato alla funzione vuota)
Quindi, se ho capito bene, invece non esiste la funzione "vuota" perché è una relazione che non "rispetta" le condizioni per cui una relazione possa dirsi una funzione (cioè che ogni elemento del dominio sia associato ad uno e un solo elemento del codominio); right?

[fmnq]

Esiste una e una sola funzione \(\varnothing\to X\), per ogni insieme $X$ (in particolare, quando $X$ è a sua volta vuoto, esiste l'identità del vuoto); la ragione è ancora una volta una verità vacua.

Viceversa, non esiste alcuna funzione verso l'insieme vuoto, da un insieme non vuoto.

In effetti il primo enunciato è un criterio di vuotezza, perché $X$ è vuoto se, e solo se, ogni insieme \(\{X\to A\}\) delle funzioni da $X$ ha esattamente un elemento.