Dubbio su Relazioni Particolari

[AlexanderSC]

Se una relazione gode della proprietà Riflessiva, Simmetrica, Antisimmetrica e Transitiva, possiamo considerarla contemporaneamente come una relazione sia di equivalenza che di ordine?

[AlexanderSC]

Inoltre, se ho una relazione d'ordine R, e una relazione di equivalenza S, la loro intersezione mi dà una relazione d'ordine, qualcuno sa il perché di questo fenomeno?
Io sapevo che un intersezione poteva conservare una proprietà condivisa dagli insiemi che andavano intersecati e basta.

[fmnq]

Una relazione è antisimmetrica quando $xRy$ e $yRx$ implica $x=y$, ed è simmetrica quando $\forall xy : xRy \iff yRx$. Le due condizioni, intersecate, ne danno una di molto banale.

[AlexanderSC]

Quindi sopravvive solo l'antisimmetrica(insieme alla riflessiva e la transitiva), è questo a cui stai alludendo?

Riguardo alla prima sai qualcosa invece?

[fmnq]

Se $R$ è una relazione antisimmetrica e simmetrica allo stesso tempo su un insieme $A$, e $x,y$ sono in $R$, allora $x=y$ perché $R$ è antisimmetrica (infatti $(y,x)\in R$, ma allora $x=y$). Ciò significa che $R$ è una sotto-relazione dell'identità.

Se \(R=\sim\) è una relazione di equivalenza e \(S=\le\) una relazione d'ordine parziale, chiaramente $R\cap S$ è riflessiva e transitiva. E' anche antisimmetrica, perché lo è $S$.

[AlexanderSC]

Innanzitutto grazie per il tempo che mi stai dedicando, lo apprezzo davvero, ma non ho capito se hai risposto anche alla mia prima domanda o solo approfondito sulla seconda.

Sappiamo che una relazione d'equivalenza è definita se la relazione gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Invece la relazione d'ordine parziale è definita se la relazione gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Nessuno delle due definizioni escludono altre proprietà aggiuntive affinché tali definizioni valgano.

Da ciò, possiamo affermare l'esistenza di una relazione contemporaneamente d'equivalenza e d'ordine, se suddetta relazione gode della proprietà Riflessiva, Simmetrica, Antisimmetrica e Transitiva?

[fmnq]

Ho risposto ad entrambe le domande: se $R$ è d'ordine e d'equivalenza, è un preordine discreto (o in altre parole, una sotto-relazione dell'identità).

[AlexanderSC]

Quindi posso decidere di vedere questa relazione $ R $ o come una relazione d'ordine o come una relazione d'equivalenza a mio piacimento?
Dato un insieme $ A $ , se considerassi la relazione $ R $ come una relazione d'equivalenza per esempio, potrei avrei a mia disposizione \( A/R \) ?