Non avevo visto questo argomento, ha spunti interessanti.
La perplessità di Xriuk non è affatto sciocca e solleva questioni reali.
(A parte qualche aspetto di inesperienza: quando dimostrare con un esempio o in generale, etc. @Xriuk: nel primo link che metti nel tuo primo post ti chiedono di dimostrare una cosa su insiemi specifici, composti da numeri specifici, quindi perciò si risolve in quel caso particolare, nel secondo link ti viene chiesto di dimostrarlo per insiemi generici, e quindi in generale, tutto qui).
La domanda che pone implicitamente è: quando è che una cosa si dice dimostrata in matematica? Si può anche dire, in termini più roboanti, cos'è una verità matematica?
Questa domanda si può affrontare a vari livelli. A livello di filosofia della matematica è una domanda molto complessa a cui non c'è risposta univoca. Ad esempio, per chi sostiene una concezione retorica della scienza, una cosa si dice dimostrata-vera quando è accettata dalla comunità degli scienziati. Caso mai platonici o altri non sarebbero d'accordo (per inciso, la visione retorica della scienza non mi ha mai entusiasmato).
Al livello di 'working mathematician', e anche di studente un po' più esperto, è come dite voi, esperienza.
Ma il problema può porsi anche allo studente ai primi passi, ed è assolutamente legittimo e giusto porselo.
Anzi, denota intelligenza.
Io a questo livello dò la risposta: un cosa si dice 'dimostrata' quando il professore dice che la dimostrazione va bene.
Insomma, una concezione retorica della scienza un po' più ristretta, circoscritta all'aula...
Easy reading is damned hard writing. (Nathaniel Hawthorne, The Scarlet Letter)